V:- Re — n
= JB, (Ph).
Nous savons calculer les fonctions P;; elles ont été étudiées dans le Chapitre XVII du Tome I.
Faisons ensuite
JA 4 En (39) Env (1 D 26 CoOSNn + CEDE se (1 Pen B?) Dan ment
ie 1 ne (40) E1Y—1(1— 28'cosn'+ B?)}?— (1 — G'?) + D'U EG-m') tu +BOVTT,
Nous déduirons des formules (35), (39) et (40), et de la relation
AA Can Un ee qui résulte des formules (37),
(41) = = pb ei ip, b® bi Et G+m)(u+B)ÿ—1+ (+) (a +B))2T
On aura donc ainsi le développement de te suivant les sinus et cosinus des
multiples des anomalies excentriques; on passera de là au développement suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, en introduisant les fonctions de Bessel, et l’on trouvera en particulier les termes en 20 — 51, Nous n’avons pas l'intention de développer ce calcul, mais nous tenons à montrer comment on obtiendra b{ et b'°. En se reportant aux formules (24),
on trouvera
Env (1 — 26 cosn + GB?) — Env GE BEN Y (à LAS BE-wŸ,
Env—1—
RP NT een En
1+6x 2) Env (1— 28 cosn + B°}?— (25) (en . . mn ee Be
de sorte que la relation (39) deviendra
(1+Bzx) *? m
On aura de même
[ j 9 (1+ Ê) th GRPa) ee »
On a dans le cas actuel
ces quantités sont donc petites, et il suffira de déduire des formules précédentes des expressions de b® et b' développées suivant les puissances de B et de f pour avoir un procédé de calcul très commode. On a
un Lois U = — — TL — — : 2 2 2 È Fete ue j 17 1.2 æ?
Gode : ( :) :) += += )[i+ii. 2 2 2 à (1+6Bx) = — 8x + Z PB? x° — 1 110 On en conclut aisément, par voie de multiplication, À . (214)(27- 3)... (21 2 m —t) 4 Qi—I 2+2M+HI (42) pe Le 2.4 om B"E ST 2 LARET 2 > M+HI, 6? ,
F désignant la série hypergéométrique.
SUR UNE MÉTHODE DE JACOBI. dE
On peut aussi écrire, en employant une transformation connue [Tome I, for- | mule (12), page 279 |,
; è s Re a res spi (43) BL 0e (21+1)(21+38)...(21+2m 1) gm (18) F(-® 33 es &)
Vire di: ee an 2 2 EEE Nous ne pousserons pas plus loin le calcul du développement de 1 on aurait ensuite, d’après la formule (7),
) A, D LINE . DO pi Aus à da CA à VA 2 V/A5 8 A5 :
nous renverrons le lecteur au Mémoire de Jacobi pour le calcul du second et du ss È a . .
troisième terme de l'expression de +: Nous nous contentons d’avoir reproduit
la substance du Mémoire et ses élégantes transformations.
140. Théorème de Jacobi. — Jacobi énonce ce théorème (OEuvres, t. VII, p. 287): les coefficients du développement de l'inverse < de la distance de deux
planètes, suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques u et uw’, peuvent s'exprimer linéairement à l’aide de quinze d’entre eux pris arbitrairement, sauf la réserve que ces coefficients ne soient pas reliés les uns aux autres & priori.
On peut démontrer ce théorème comme il suit : en faisant
ZT — E = x! — Ewv-T,
la formule (8) du Chapitre précédent peut s’écrire
b nl b! T 2 LA è | Aa La x ++ +aiz + Eco + di +d; — + re - de À WA TL TX (49) à 2 L ! 12 L !
+ g Hors ne TX * + PE —®(2,x JE Posons (46) A == ZA» UD LA 2 RUE
DA
On aura, en différentiant cette équation par rapport à æ,
= Le > à Im = UT (m rt 1) À +1, m' Dr )
