CHAPITRE XVIII. — DIVERSES MÉTHODES DE JACOBI

d’où, en tenant compte des formules (45) et (46),

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En égalant dans les deux membres les coefficients de x”, on trouve une relation contenant seize coefficients; quinze d'entre eux restent arbitraires, et le seizième en résulte. On aura une autre série de relations analogues en employant la dérivée ®’, au lieu de ’. Mais il est douteux que ces relations compliquées puissent être de quelque utilité dans la pratique.

DÉVELOPPEMENT DE M. NEWCOMB POUR LA FONCTION PERTURBATRICE ft}

141. Introduction de M. Newcomb. — Donnons-en une idée sommaire : l’auteur rappelle la nécessité d’avoir un développement commode et assez complet pour la fonction perturbatrice; c’est la base du calcul des perturbations.

Le premier développement de ce genre a été donné par Laplace dans la Mécanique céleste; 11 s'étend seulement aux troisièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. De Pontécoulant, dans sa Théorte analytique du système du Monde, à eu égard aux sixièmes puissances des mêmes quantités, et c'est aussi ce qu'a fait Peirce, mais sous une forme plus condensée (Astrononucal Journal, t. 1). Le Verrier a donné ensuite (Annales de l'Observatoire, t. 1) le développement complet, et sous une forme commode, en tenant compte de toutes les quantités du septième ordre. Nous ajouterons que M. Boquet (Annales de l'Observatoire, t. XIX) a étendu les calculs de Le Verrier aux termes du huitième ordre. Tous ces développements sont des fonctions explicites du temps et des éléments elliptiques, et c’est ce qui constitue leur avantage; toutefois, les dérivées de la fonction perturbatrice relatives aux coordonnées ne peuvent pas être obtenues sans transformation, et le calcul des inégalités devient pénible quand on veut avoir égard aux diverses puissances de la force perturbatrice.

Il y a, en quelque sorte au pôle opposé, des développements dans lesquels les coefficients des cosinus des divers arguments sont purement numériques. Hansen parait les avoir employés le premier dans son Mémoire intitulé : Untersuchun gen über die gegensaitigen Stôrungen des Jupiters und Saturns (Berlin, 1831); 1l a eu recours aux quadratures numériques; mais on a alors l’inconvénient de ne pas pouvoir suivre l’influence exercée par des changements apportés aux constantes adoptées.

Il existe ensuite un procédé intermédiaire en quelque sorte, que l’on peut appeler la Méthode de Cauchy-Hansen. L’inventeur original est Cauchy; ses travaux ont été faits de 1842 à 1845, et nous en avons exposé une partie dans le Chapitre XVII. L'adaptation générale au calcul du développement de la fonction perturbatrice et de ses dérivées a été faite par Hansen, dont nous exposerons les

(1) Astronomical Papers, vol. IL; 1884.