TOME

1. Équation générale de la Dynamique. — En combinant le princi|3e de (l'Alembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a pu condenser en une seule équation symbolique les équations du mouvement d'un système quelconque de points matériels soumis tous, ou quelques-uns seulement, à des forces données.

Cette équation est

ou encore

X, j, z désignent les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque du système; m sa masse; X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la résultante des forces directement appliquées à ce point. Cette équation (i) doit avoir lieu pour tous les systèmes de valeurs des variations infiniment petites §^, Sy, Bz, ... des coordonnées x, y, z, ... compatibles avec les liaisons du système; dans cette même équation, le J^ du premier membre s'étend à tous les

points du système, et celui du second seulement à ceux de ces points auxquels des forces sont appliquées.

Les liaisons seront représentées par un certain nombre d'équations, telles que

Les variations Sa?, Sj, ... devront vérifier les équations suivantes

-r^ àic H- -f- dr + . . . = O, dx dy

-^ èx -h -^ Sy -^ . . . ■= o, dx dy "^

obtenues en différentiant les équations (2) par rapport à la caractéristique S sans faire varier le temps /.

On sait comment, en introduisant les facteurs indéterminés de Lagrange, on tire de ce qui précède les équations différentielles du mouvement des divers points du système.

Nous allons transformer l'équation (i) de manière à en déduire le principe d'Hamilton.

2. Principe d'Hamilton. — Soit, dans le système considéré, n le nombre des points matériels et, par suite, Zn le nombre des coordonnées 00, y, ... ; si "in — k désigne le nombre des équations (2) de liaison, on pourra tirer de ces équations les valeurs de 3/i — ^ coordonnées en fonction de t et des k autres qui pourront être considérées comme des variables indépendantes; pour plus de symétrie, on pourra dire que, en partant des équations (2), il est possible d'exprimer toutes les coordonnées en fonction de t QiAe k variables indépendantes Ci* Çsy '", qk'-, on aura, par exemple,

Les variations infiniment petites ^qt, Bq^, ..., ^q^ pourront être absolument quelconques; quant aux variations ^cc, By, qui figurent dans l'équation (i), on les calculera ensuite par des équations analogues à la suivante

/a\ ^ ÔF ^ d¥ ^ dF ^

obtenues en différentiant l'expression de x par rapport à la caractéristique 0 sans faire varier le temps.

Pour arriver au principe d'Hamilton, nous allons considérer les §7,, qui

peuvent être quelconques, comme des fonctions de t, fonctions arbitraires, mais infiniment petites; en partant de là, nous transformerons l'équation (i); les §.37, §j, ... seront des fonctions de t déterminées par les formules (3), et nous pourrons écrire

(Px . d [ dx - \ dx d àx

—-— àx = ^r \ —r- àx — — r— ■

dt^ dt\dt ) dt dt

Pour une valeur donnée de t, quand on change ^ en ^ + ^x, il en résulte dans --T- le changement o-^; on aura donc

^dx d{x -\- èx) dx

ou bien

on en conclut

dt dt dt

d àx » dx

dt dt

dx dèx dx ^dx , ^/dx\^

Wt dt ~"dt 'di~^ \di ) ^

et l'expression de —j-^ ^x devient

De cette équation et des équations analogues concernant j', z,x', ..., on déduit

On voit s'introduire dans cette équation la demi-force vive du système; nous la représenterons par T :

Si nous posons

(7) 2(X(3^ + YÔ/ + Za^) = U',

l'équation (i) donnera, en ayant égard aux formules (5), (6) et (7),

Le second membre de cette équation ne contient plus rien qui se rapporte au

système de coordonnées employé, car T = - ^m^^^ n'en dépend pas, et il en est

ainsi de U' qui, par sa définition même, représente la somme des travaux des forces pour le déplacement virtuel caractérisé par ^x, fy, ....

Il en est de même aussi du premier membre de l'équation (8), car l'expression

dx ^ dy ^ dz ^

-7- 0^ H — f~ày -h -j-àz dt dt -^ dt

représente le produit de la vitesses du point M parla projection, sur la direction de cette vitesse, du déplacement virtuel Is du même point M (Is a pour projections sur les axes "^x, §j, Ss).

Multiplions l'équation (8) par dt et intégrons entre /« et /, deux valeurs quelconques de t\ nous trouverons

où le premier membre représente la différence des valeurs que prend, pour

^ = /„ et / = /, , l'expression 2 '^ ( 7^ ^^ "^ 77/ ^-^ "^ ^ ^^ ) '

Si nous imposons aux variations Sy, la condition de s'annuler pour / — /« et i=^,, il en sera de même des variations Sa?, %y, ..., et l'équation (9) donnera

(10) / (ôT + U')</< — o;

cette formule constitue ce qu'on appelle \e principe dHamillon.

Dans un cas très général, il est permis de simplifier l'équation (ro) : c'est le cas où il existe une fonction des forces U, c'est-à-dire où l'on a

âV 1 — 5— j

7 au

^'-Tz'

^-dx" )

la fonction U est supposée ne dépendre que des coordonnées x, y, z, x', ... des divers points du système et du temps t qui peut y figurer explicitement.

En se reportant à la définition de U', on trouvera et l'équation (lo) s'écrira

ou, plus simplement,

(ij) a f \T^rU)dt=o;

ainsi la variation de l'intégrale / (T + \^)dt doit être nulle.

Nous supposerons désormais l'existence d'une fonction des forces, de la nature indiquée, ce qui se trouvera réalisé dans les applications à l'Astronomie dont nous aurons à nous occuper.

3. Equations de Lagrange. — Le principe d'Hamilton se prête très facilement à la transformation des équations différentielles du mouvement d'un système, lorsqu'au lieu des coordonnées rectangulaires on introduit d'autres variables pour déterminer les positions des divers points du système.

Supposons que, à l'aide des équations de liaison (2), on ait exprimé les coordonnées X, y, z, x' , ... de tous les points du système en fonction de / et des X: variables indépendantes q ^ , q.2, ..., qk- Posons d'une manière générale

li\

l'expression (6) de T prouve que cette quantité deviendra une fonction de t, de q^, q^x, ..., ^A et de ^', , ^2, ..., qj^\ U ne dépendra que de ^ et de ^,, ^2» •••. qn- 0" sait qu'en différentiant par rapport à la caractéristique Z on doit regarder comme constant le temps qui figure explicitement dans les équations de liaison ; on aura donc

puis

en portant ces expressions de §U et de §T dans (i i), il viendra

or on a

ou bien, en intégrant par parties,

''ÔT dàqi dq'i dt

Mais, puisque les variations Sy, sont supposées nulles pour t = toei pour t = tt, il vient

et l'équation (i3) peut s'écrire

"^^ dq'J d{T

dq'J d(T +

àqic \dt:=o.

Cette équation doit avoir lieu quelles que soient les variations infiniment petites ^q^, ùq^, ... qui sont indépendantes les unes des autres; on en conclut que l'on doit avoir identiquement

âqi dqi

dq'J fj^à^ dt dq^ dqz

dq)J d'\

l dt dqk dqk

car, si ces quantités n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait donner aux

variations S^r,, Bq.^, ... des signes tels que, pour toutes les valeurs de / comprises entre t^ et t^, chacune des expressions

soit constamment positive, et alors, tous les éléments de l'intégrale (i4) ayant le même signe, cette intégrale ne pourrait pas être nulle.

Les équations (r5) sont dites équations de Lagrange; elles ont été données pour la première fois par ce grand géomètre.

On voit donc qu'aussitôt que, dans les problèmes de Dynamique considérés, on a fixé le choix des variables indépendantes à l'aide desquelles on peut exprimer les coordonnées de tous les points du système, on est à même de former sans élimination, par un calcul élégant et facile, les équations différentielles propres à déterminer les variables introduites.

4. Forme canonique d'Hamilton. — Nous considérons maintenant les problèmes de Dynamique dans lesquels les liaisons sont indépendantes du temps; nous admettons toujours qu'il existe une fonction des forces, dépendant seulement, comme nous l'avons dit, des coordonnées des divers points, et pouvant contenir explicitement le temps.

Soient g',, q.,, ..., q^ les variables indépendantes à l'aide desquelles on peut exprimer les coordonnées de tous les points ; on aura, puisque les liaisons sont indépendantes du temps, des expressions de cette forme

y = ^{qi, q,, . . ., q^).

d'où, en représentant comme précédemment par q\ la dérivée -^

dx , d¥ , dY , d¥

dv , d<i> , d*l> , d<S^

En portant ces valeurs dans

-r=2:'"[(t)-(iy-(Ê)1

on trouvera un résultat de cette forme

^k,kq'k

On voit que T est une fonction homogène et du second degré des variables q' \ les coefficients A,,,, A,,2, ••• sont des fonctions des variables q ne contenant pas le temps explicitement.

Les variables q seront déterminées par k équations différentielles, telles que

^^' dt dqi~ dqc

quand, après avoir formé la dérivée partielle \-^^\ on remplacera (7,, y., ... respectivement par -^> -— ? • •> on voit que l'équation (17) sera une équation

différentielle du second ordre. Le problème dépendra donc de l'intégration de k équations différentielles simultanées du second ordre.

Nous allons actuellement faire un nouveau changement de variables en posant

^'^^ 5^=^" W.^^" •••' Wk=^''

nous remplacerons les k variables q] par les k nouvelles variables />,. Si l'on tient compte de (16), les équations (18) pourront s'écrire

( />i=A,.,y;4-A,,2<7j+-- ■ + ^\,kq'ky

(19) I Pi = ^i,iq\-^ ^i,iq't + • • --^ Kkq'k^

En résolvant ces ^équations du premier degré, on aura les valeurs de q\, q\, ..., ^'^ en fonction de/?,,/?^, ...,/>;t et de ^,, y,, ..., q,,, et si l'on reporte ces valeurs dans (16), on trouvera un résultat de la forme

+ B2,2/>^ +.-.-i-2Bj,;t/?j/)A H-

+ ^k,kPl,

OÙ les coefficients B,,,,B,,2, ... seront des fonctions de y,, ^„ ..., q^.

INTROnUCTION. f)

Quant à la l'onction U, elle ne changera pas, puisqu'elle est supposée ne pas contenir les variables q'.

T, qui était d'abord une fonction des variables qi^iq'., devient maintenant une fonction des variables qi ei pi; d'après ce qu'on a dit plus haut, qi n'entre pas de la même manière dans les deux expressions de T; il convient de désigner

par 3— la dérivée partielle de T prise dans l'hypothèse des variables q^ et q\;

la dérivée prise dans l'hypothèse des variables qi et Pi sera représentée simple-

dT ment par -r- •

L'équation (17), en ayant égard à (^18), s'écrira donc

On aura, pour la différentielle totale de T prise dans le premier cas.

et, pour la même différentielle totale prise dans le second cas,

On a enfin, en appliquant le théorème des fonctions homogènes à T, ou bien

(23) llT=^^piCl],

d'où

2 ûTr — ^ pi dq'i ^ ^ q'i dpi.

En retranchant de cette équation l'équation (21), il vient

( 24 ) crr — 2] I ^ I ^^, -i- 2 q'i (ipiy

lO INTRODUCTION.

et, en comparant les deux expressions (22) et (24) de dT, on trouve

[àqi\-

dpi'

cette dernière équation peut s'écrire

dq, dt

~ dpi

On tire,

reste.

et (25),

dpi dt

ÔT

dqt

àqt

En donnant à i les valeurs i, 2, ..., X-, les équations (26) et (27) présentent le résultat cherché sous la forme de ik équations différentielles simultanées du premier ordre, d'aspect très simple.

Mais on peut obtenir encore plus de symétrie en introduisant une notation spéciale pour représenter la différence T — U et posant

si l'on remarque que, par hypothèse, U ne contient pas les variables />,, on voit que

dpi ~ dpi On a, du reste,

dqi~ d(Ji dqi

et les formules (26) et (27) deviendront le type des équations du groupe suivant :

dp, (9H

dqj^ m

dt dpi

dqt dt

àpï

dqj,

\ dt

àpk

àpi dt

àqi

dq^

dpk dt

àqk

Il résulte de là que la résolution d'un problème quelconque de Dynamique

(avec les restrictions énoncées) se ramène à l'intégration d'un système de adéquations différentielles simultanées du premier ordre dans lequel les variables sont conjuguées deux à deux; la dérivée de l'une quelconque des variables par rapport au temps est égale à la dérivée partielle d'une même fonction H, prise par rapport à la variable conjuguée, ou à cette dérivée changée de signe. Ces équations (28) sont dites ramenées à la forme canonique.

5. Théorème d'Hamilton. — Supposons que l'on ait intégré les ik équations différentielles simultanées (28); on aura donc exprimé les variables qt et Pi en fonction de t et de 2.k constantes arbitraires <?,, c.,, ..., c.^^', on pourra exprimer de la même manière la fonction H. Cherchons, dans cette supposition,

la dérivée partielle -j-; nous aurons

m àRdp, dU dp, ' ÔR âpk

dci dpi dci dp2 dci ' ' ' dpk àci

dU. dûi dH dq, dR dok

dçi dCi àq, dci dqk dci

OU bien, en tenant compte des équations (28),

^^^££^^ dq k dp^

âci dt dci dt dCi ' ' ' dt ôci

dpi^ dq i dp^ dq^ dpj^ dq^ dt ôci dt ôci ' ' ' dt dci

ce que l'on peut encore écrire

<?H d f dqi dq, dqi

l^i'^-^'ôEi\"~di~''P'-^t'^'---^P' dt d ( dqx dq, dqk

ou encore, à cause de la relation (23),

<)H 2dT d [ dq\ dq, dqk

dct - dCi ~dt\P'd^i'^P'-'d^i^-" '^P" dCi

On en tire, en remplaçant H par T — U,

(?(T-f-U) d f dq. dq, dq

dCi - dtY'dct ' ""'dCi '" dCi

Multiplions cette équation par dt et intégrons entre les limites /„ et t, /« étant

supposé indépendant des constantes c, ; nous trouverons

dqx dqi , àqu

les indices ^0 et t placés au-dessous des parenthèses indiquant qu'il faut y remplacer / successivement par / et /o- Posons

(3o) S--: I [T-r^ V)dt;

cette fonction a été appelée par Hamilton Jonction principale; elle est, d'après ce qui précède, exprimée à l'aide de t et des :ik constantes arbitraires c^, c,, ...,Ci, ..., c.;^!,. Donnons à ces constantes des variations infiniment petites oc, indépendantes les unes des autres ; désignons par ^y, et SS les variations correspondantes de qi et de S; nous aurons

— ÛC^ 'V ;t- oc ■

àq\.^ àqi.

oS — -,— OCi '\- 3— oc, -r- . . . -r .— OC j -J- . . . -i- -— ÙC^k,

âci oci oci Oc2K-

c/c, Oc,

Désignons par (/?/)o» (^»)o. {^9i)o ce que deviennent les expressions de /;,, </, et 0^, quand on y fait ^ = /„ ; si nous multiplions l'équation (29) par oc^ et si, attribuant à l'indice i les valeurs i, 2, ..., 2k, nous faisons la somme des équations obtenues, nous trouverons

(3l) GSrr:^,^7,-i-/>j072+. . . + Pk^qk—{Pi)i,{oqi\—{pi)^{oqi)o — . • • - (/>/.)o (o///,),, .

S était d'abord, comme nous l'avons dit, une fonction de t et des ^k constantes arbitraires; or, en désignant par '(/ une certaine fonction de t et des constantes, on a

(3-2) r/,-: ;,(^/, C, Ci, . . ., C^k),

d'où l'on déduit

(33) {qi)^ 7__ Ç,(/o, f,, c.,, . . ., Cî/. ).

On a k équations telles que (32) et k telles que (33); on en peut tirer les valeurs des 2.k constantes c,, c.,, ..., c^^, en fonction de /, /„, fj,, ^J-^ •••» «/a <'t de

INÏKODUCTIO.N. l3

Wi)o' WOo' •••• ('/a)o ^t les reporter dans S, qui deviendra une fonetion des mêmes quantités; on aura donc, en remarquant que dans le calcul de ^S on ne doit faire varier ni t ni /o»

^ ) (^7i <^^2 àqk

En comparant les expressions ('3i) et (34) de ôS, on trouve

dqy ^ dq^ Oqk

o{qi)o o{q2)o o\qk)o

On peut maintenant, si l'on veut, regarder les 2X: quantités (^1)0» (9-2)0* ..., (^/f)o, (/?) )o» (7^2)0' •••' (/^a)o comme de nouvelles constantes arbitraires pouvant remplacer les anciennes c^, c.,, ..., c.,^; alors les 2j(- équations (35) et (36) seront les intégrales générales des équations (28). En se plaçant au point de vue spécial du problème de Dynamique considéré, on pourra dire que les équations (36) sont les intégrales de ce problème; car, à elles seules, elles donnent les valeurs de ^,, (/.j,, ..., ^a et, par suite, les valeurs des coordonnées de tous les points du système exprimées en fonction de t et de 2.k constantes arbitraires. La forme remarquable sous laquelle se présentent les équations (36) donne lieu au théorème suivant, dû à Hamilton :

Les intégrales d'un problème de Dynamique, dans lequel les liaisons sont indépendantes du temps et où il existe une fonction des forces indépendante des vitesses, peuvent toutes sexpnmer en égalant à des constantes les dérivées partielles d'une autre fonction S prise par rapport à d'autres constantes.

D'après la manière dont la fonction S a été introduite, il semble que, pour la connaître, il soit nécessaire d'avoir préalablement résolu le problème proposé ; il paraît en effet nécessaire d'exprimer d'abord T -f- U en fonction de t et des

2X' constantes c,, d'effectuer la quadrature / {T~\-\])dt et d'exprimer ensuite

le résultat, en fonction de t, des k variables ^,, q.^, ..., q/^ ci des k constantes ('/Oo' (^2)0' •••' (<7a)o; heureusement, on peut opérer autrement. Hamilton a prouvé, en effet, que cette fonction S vérifie une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Pour le faire voir, remarquons que l'équation (3o) donne

D'après ce qu'on a dit plus haut, S est une fonction de /, des variables qi et des constantes (^/ )o ; S contient donc le temps explicitement et implicitement, et l'on aura

'dt ~~ dt ' ^ dqi dt OU bien, en tenant compte de (35) et (37),

ou encore, en ayant égard à la formule (^S),

Posons comme précédemment H = T — U, et nous aurons

La fonction U ne contient que le temps l et les variables r/^; mais T dépend des variables qi et q^ ou bien des variables qi et/?^; on peut donc écrire l'équation (38) comme il suit :

as „ . .

-^ +H(f, 9i, ^2, . . ., qu\ />!, Pï, . ■ ., Pk) = 0,

ou encore, en ayant égard aux formules (35),

as „/, as as as\

On voit donc que la fonction S est une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, dans laquelle figurent les ^4- i variables indépendantes t, q^, q.^, ..., ^y^; cette intégrale contient les k constantes (^i)o. (^2)0' •• ' (^a)o' sans compter la constante qu'on peut lui ajouter directement, puisque l'équation (39) ne contient pas S, mais seulement ses dérivées partielles.

Remarque. — L'équation (39) est du second degré par rapport aux dérivées

â"' â~' '"'1^' cela est une conséquence des formules (16') et (35).

6. Réciproque de Jacobî. — Il y avait lieu de se demander si, en prenant pour S une intégrale complète quelconque de l'équation (39), on aurait encore les intégrales du mouvement sous la forme remarquable exprimée par les équa-

INTRODUCTION. l5

tions(35) et (36); c'est ce qu'a fait Jacobi en démontrant le beau théorème suivant :

Soit l'équation

(40) -^ + HrrrO,

dans laquelle H = T — \} est une fonction de t et des ik variables qi, q^, ..., ^a,

Px,p2, ..., pf^; en faisant pi = ^—} on obtient une équation aux dérivées partielles

du premier ordre contenant k H- i variables indépendantes t, q^, q^, ..., q^. Supposons que l'on ait obtenu une intégrale complète S de cette équation, c est-à-dire une solution fonction de t et des k variables qi et contenant k constantes arbitraires, a,, ao, ..., a;^, indépendamment de la constante que Von peut toujours ajouter directement à S ; alors les équations

dans lesquelles ^^, [3 2, ..., [3^ désignent k nouvelles constantes ^ seront les intégrales générales du système des ik équations différentielles simultanées

Différentions en effet les équations (4i) complètement par rapport au temps: nous aurons

a^S a^S dq^ fP^ dq, a^s dq,,

dqt dt

~ àpv

dp, __ an

dt dq.

dqk dt

~~ àpk '

dpk aH

dt ~ dqk

dixi dt dxi âqi dt ^a, âq2 dt ' ' ' da, dqk dt '

a^S a^S dq, a^S dq, a^S dq,,

(44) { doiidt dix^àqi dt da^dq^ dt '"' da^dqk dt

dockdt doc/^dqi dt dakdq^ dt ' ' ' dockdqk dt "^

Si, dans l'équation (4o)» on suppose S remplacé par sa valeur en fonction de t, des variables qi et des constantes a,, on aura une identité; on peut donc différentier relativement aux constantes a, ou par rapport aux variables q'.. Fai-

iG INTRODUCTION.

sons-le d'abord par rapport à a, : nous trouverons

d^S , dU dp, , an dpi , ^ dn àp^^

âtâxi àpi ôcxi dp. dxi ' ' àpi- àxi OU bien, en tenant compte de (42),

âtôxi ' r?/», âqiây.i Opi O'/^ày.i ' '" âp^ ôqkây.^

On trouvera d'autres équations toutes pareilles en diflérentiant (4<> ) par rapport à a., a, a;;., et l'on pourra écrire cet ensemble d'équations

âtôxi

âpi

ôf/2 ôy.i

Op,

dqk àxx

âH

àpk

rPS

dqx doLx

àpi

dqk d(Xi

dpk

dldo^k

âH

àpi

Oq^da,,

âH

Opî

àqkàcck

àpk

On va comparer ce système d'équations avec le système (]\)', on sait que l'on a

âcxi ôl dt âx,

^S (PS , ()qi âxj ()(Xj âq, '

il en résulte que, si l'on considère, dans les équations (44). -/' / ' •••' -jr

comme les inconnues et si l'on prend pour inconnues, dans les équations (45 )♦

dH dH dH , *' j 7 ' .• 1 • 1 >

y-) -j— 5 ■ ■ ■> -r— , on aura deux systèmes de k équations du premier degré a

k inconnues. Dans les deux systèmes, les coefficients des inconnues et les termes tous connus seront les mêmes; donc les inconnues correspondantes auront les mêmes valeurs dans les deux systèmes. On en conclut, d'une manière générale,

(46) dq^âU^

dl Opi '

la première moitié des formules (43) est ainsi démontrée. Partons maintenant de l'équation

àqt

nous en déduirons

dt dqt àt dqi dq^ dt ôqt dqi, dt ' ' ' dqt ôqk dt

OU, en ayant égard à (46),

dt dqidt dqidqx dpy dqidq^ dp^ ôqiôq,, ôpk

Or, en différent! ant (4o) par rapport à qi, on trouve

ou bien

~ dt dqt dqt ~^ dpi dqt dpj, dqt ' ' ' Ôpk dqt '

d^s ^H ()'-'s ô\{ d-^s dn

dt dqt dqt dqi dqi dp^ " ' dqk dqt dpk

en remarquant que (42) donne

dpj d'^

dqt dqj dqt

En rapprochant cette équation de l'équation (47)» on obtient

dpi dH

dt dqi^

donc la seconde moitié des formules (43) est démontrée.

On voit donc que les équations (40 et (4^), qui déterminent les 2k variables Pi et qi en fonction de t et des ik constantes arbitraires oli et [3<, sont bien les intégrales générales des équations différentielles simultanées (43)-

Remarque. — Les équations (4i) déterminent ^,, q,, ... et, par suite, les coordonnées de tous les points du système en fonction de t et des 2k constantes arbitraires; elles suffisent à résoudre le problème proposé. Les équations (4^) déterminent ensuite les inconnues auxiliaires/?,, /?o, ...; on les appelle intégrales intermédiaires.

Tout problème de Dynamique dans lequel les liaisons sont indépendantes du temps et où il existe une fonction des forces (pouvant contenir le temps explicitement) se ramène, comme on l'a vu, à un système d'équations différentielles simultanées, tel que (4^); on peut donc en conclure que la solution de chacun des problèmes de Dynamique considérés plus haut se ramène à la détermination T. - L 3

l8 INTRODUCTIOX.

(l'une intégrale complète d'une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Cette équation n'étant pas linéaire, on n'a pas de méthode générale pour en trouver une intégrale complète; on peut néanmoins l'obtenir dans un certain nombre de cas et, par suite, résoudre le problème correspondant, comme nous le montrerons dans la suite de ce Traité.

7. Cas où la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement. — ï est déjà supposé ne pas contenir le temps explicitement; il en sera donc de même de H = T — U, et l'équation aux dérivées partielles sera

En désignant par a une constante, nous poserons

(49) S-^-aM-S',

et nous supposerons que S' ne contienne pas le temps explicitement; on aura

et l'équation (4*^) deviendra

(oo) " 7i' V2» '//.• ) ' , ■■ ■^-c—]~y..

S contenant déjà la constante a, il suftira de trouver une solution S' de l'équation (5o) renfermant X- — i constantes arbitraires a,, a^, .... a;t, ; on aura ensuite, en désignant par ^,, fJa, .... ^;t,, (3, k nouvelles constantes arbitraires,

ce qui devient, en remplaçant S par sa valeur (49)»

On voit donc qu'on est ramené à la recherche d'une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles contenant k — i variables indépendantes au lieu de k.

Voyons ce que deviennent les résultats ci-dessus dans le cas de n points matériels entièrement libres.

Nous supposons toujours qu'il existe une fonction des forces pouvant contenir

INTRODUCTION. iq

le temps explicitement, mais ne dépendant que des coordonnées des points considérés.

Soient a^i, y i, z^, m^ les coordonnées rectangulaires et la masse de l'un quelconque de ces points; on aura 3n coordonnées et 3/i équations différentielles,

telles que

I ^^^ d^Xi ^ dxi '

ntr

d\yi d^ ^' df ~~ dfi

de âzi Soit 2T la somme des forces vives des n points du système; on aura

en posant

dXi

dyi dt

dZj

Puisqu'il n'y a pas de liaisons, on pourra prendre x^, y,, z-i pour les variables q\ on tire de (53)

dx\

nii oc ^ ^

les variables/? seront donc niix^, rriiy-, miz. On aura

nijXi ■=

âx,

âr,

àz,

dxi

et la formule (53) donnera

l'équation (4<^>) sera donc, dans le cas actuel.

dz.

où U désigne une fonction connue de t et des 3// variables indépendantes

if J n "r

Pour obtenir les mouvements des n points du système, il suffira donc de trouver une solution S de l'équation (5 i) aux dérivées partielles contenant le temps /, les 3/1 coordonnées Xi, yi, zi et ?>n constantes arbitraires a,, y.^, .... a.,,^; après quoi, en désignant par ^^, ^o, ..., {B,,,, ?>n nouvelles constantes arbitraires, les

intégrales générales seront fournies par les formules

les intégrales intermédiaires seront

d.r, â^ dYi r)S dz, ^S

' c^f <?d:?/ </< ayt rit ÔZi

Si la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement, ce qui arrivera si les points matériels sont soumis seulement à leurs attractions mutuelles, on devra considérer, au lieu de (j4). l'équation aux dérivées partielles suivante

OÙ a désigne une constante arbitraire, et en trouver une solution S' contenant

les 3^ variables xi, r/, z-, et 3/i — i constantes arbitraires a,, ao a3«-i en

dehors de la constante a ; les intégrales générales seront

8. Relations de Jacobi. — Nous allons démontrer un théorème qui nous sera utile dans la suite.

Soit S une fonction de n quantités ^,, q.,, ..., q,i et de n autres a,, aj a„ ;

posons

lh~

Ih^

(ft)

as aaj

pourra

tirer de ces

équations

fin

foni

pi 1 r*2) . • • • p/i /

et, en portant ces valeurs dans les équations (/>>), on aura des identités que l'on pourra différentier par rapport à l'une quelconque des quantités a et fl. On pourra tirer aussi des formules (a) et (/,>)

„ ^ o ) ^n fonction de 1

Pi, P2, ■• -, ?nj \qx, fh, • ■ • , <hi

et, en portant ces valeurs dans les équations («), on aura des identités que l'on pourra différentier par rapporta l'une quelconque des quantités^? et q.

Il on résultera, on désignant par i et A- deux indices quelconques de la série 1 , 2, ..., n, des dérivées partielles, au nombre de /\n-, de l'une de ces formes

dpj dpj^ ()qj dqj

et un second groupe de ^n^ dérivées partielles de la forme

, ,, dcK.1. ()y.i, c)^/, àdf,-

dpi ' d(ii ' dpi ' dqi

Les relations suivantes, dues à Jacobi, permettent d'exprimer d'une manière fort simple l'une quelconque des dérivées (c) au moyen de l'une des dérivées (cl) :

^^ àoc,~ dqi' ^^^ d(3,- dpi'

I f\ ^Pi ^ dy-k ,,v dqi d'^j,

^^^ Wl'-~dfi' ^^ d^, — d^r

Tel est le théorème qu'il s'agit de démontrer.

Différentions les n équations (a) par rapport à cj-, puis les n équations (b) par rapport à ol/,; nous trouverons

^*S d-S doc, ^2 s ^^,

dqi dqi dqi da^ dqi dqi doc^ dqi (35) \ à-2^ a-S doc, d^i doc,

dq2 dqi dqi doci dqi dq^ doc^ dqi

rr-S (J^S dq, d'-S dq,

doci doc/^. doci dqi doc^ doci dq^ doc^-

(56) [ d^^ d^S dq, (J-^S dq,

doc^ doc/,. doc^ dqi dy.k da^ dq^ doc/^.

En multipliant les équations (55) respectivement par —, y!^, ... et ajoutant,

il vient

r)2S dq, , r)^S dq, , doci ( rPS dq, r)^S dqj

dqi dqi de./, dqi dqi doc/c ' ' ' dqi \dqi doci dx/, dq^ Ja, doc/,

dOi / d^ dqi d'^ dq.

dqi \dqidoc.2 doc/. dq^dx-, doc/-

ce qui, à cause des formules (56), se réduit à

f)2S dqi , rPS dq, / ^^S doc, ^ f)»S doci

dqi dqi doc/, dq-i dqi doc/, ' \doCi doc/, dqi doc^ doc/,. dqi

si l'on ajoute et si Ton retranche . . > on peut écrire encore

ou bien, en ayant égard à {a) et (b),

dpi ^.

dy-k dqt ' c'est la formule {e).

Différentions les n équations {b) par rapport à (3/t; nous aurons

Jl^ ^ ^ ^ —

dot, (^ç-i <?Pa <^ai <^^2 à^k '

d^^ dq, d^^ dq^

dot-t dqi â^k ^ àoci dqt â^k ^ * ' " '

âxkàqi d^k dxkàqz â^k

Multiplions ces équations (Sy) respectiveiiinit par -^, ~^ ••• et ajoutons, il

viendra

âiXk àqi ( â^S ôixx d*& âxt \

àqi ()?k\àoctdqi âq, âcxiâqi dqt

dqz ( d^S dct^ d*S dan-i

â^k Vày-i àqi dqt da^ dqt 7}qt

ce qui, à cause de (55), se réduit à

doLk / ô'S âq, ^ a* S f}7, \ () fdS\ âp,

àqt ' \âqiâqiâ^k àqtàqi Ôqk '"} à^k\dqi) d'^k

c'est la formule (/).

Différentions les équations (rt) par rapport à/>., nous Irouverons

àq\ àa, ()/>, ()qi âoc^ ôpt âqtâcti âpi dqiôcit dpt

(Do '

dqi âoci ôpi dqi da^ dpi

Multiplions ces équations respectivement par —^ -J^-, ••■ et ajoutons, cela nous donnera

doi^ [ d^'è dqx (?^S dq<i

àpi \àqi d(X2 d^k âq^doCi d^k

en vertu des relations (57), cela se réduit à

dqi dof.1,

c'est la formule {g).

Multiplions enfin les équations (58) respectivement par -^ , .^5 • • • et ajoutons, il viendra

dqi ^ dat.^ ( (^^S dqx à-^ dq-i

dxk Opi \dqi doci ôck dq.^dof.x da^

ôoc^ / ô^S dq, ô^S dq.2

ce qui devient, à cause des formules (56),

àÇi __

^2 S âoci

d- S dxi

dpi\dcik) ~

àcxk

daiâ(Xk ôpi

âûc^da/c dpi

àpi'

c'est la formule {h).

On pourra faire usage des relations {e), (/), {g), (h), quand on aura intégré les équations d'un problème de Dynamique par la méthode de Hamilton-Jacolii; en effet, les conditions (a) et (b) seront bien remplies, S étant une fonction de Çf, g.y, ..., q,i, a,, a,, ..., a,^ et de t; en prenant les dérivées partielles, on n'aura pas, bien entendu, à se préoccuper de t.