f- x' I da

i + x'/ 1.2 da^

cette série convergera rapidement parce que est petit.

En remettant pour ¥(a, a') sa valeur K<''^\ et posant d'une manière générale (23) I ^ ' 1.2... p daP '

les formules (21) et (22) donneront

KL''"' X — x' (1 + x')-''

Il ne nous reste plus qu'à remplacer, dans le second membre de la formule (19), K^'''''^ par l'expression précédente, et), par )• + y, /' par /'+ y'; nous trouverons ainsi

(24) R, ^ 2] ^p'" (1 Vx^)?^ ^"' t^'^^ ~ ^'^ - ^'-^'^^' -^ '^' - ^'^'^'

où /) devra recevoir les valeurs o, 4-1, +2, ..., et où il faudra remplacer ensuite h et K^''^^ par les valeurs indiquées dans le Tableau (20); ^ prend du reste, comme on sait, toutes les valeurs entières, depuis — qo jusqu'à +go.

Le Verrier a poussé son développement jusqu'aux quantités du septième ordre inclusivement y en considérant y], e et e' comme de petites quantités du premier ordre; ce degré d'approximation lui a suffi pour établir les théories des anciennes planètes. On devra donc donner à p, dans la formule (24), les valeurs o, I, 2, . ., 7.

On voit que ce qui nous permet de limiter le développement actuel, c'est la petitesse des excentricités des orbites; en résumé, dans la formule (24), les indices/? et A seront limités, le premier par la petitesse de e et e', le second par celle de vj; l'indice i prendra des valeurs qui seront d'autant moins nombreuses que le rapport —, sera plus petit.