LIVRE XIV

termes semblables. Ainsi en n'ayant égard qu'à des quantités de ce genre, on peut supposer

P > + 9 * + r» = »• -f- Ç - 1 ; . f(Ç) ' . dt.

Maintenant ne considérons dans V", que la partie qui est indépendante de sin2$ et de cosaÇ). Celte partie est, par ce qui précède,

. (aC— -A — B) [X*-f-(Y.cc*8 — Z . sinS)* — - | . r,»].

Dans le cas d'un sphéroïde de révolution, dans lequel A = B, on a vu dans le n* 8 du cinquième Livre, et il résulte de la valeur donnée ci -dessus de dp t que p devient une constante, et qu'ainsi /^-f-y'-f-r" ne contient point de quantités du premier ordre, multipliées par le sinus d'un angle croissant avec une très grande lenteur. Mais la supposition de A = B ne-détroit point les quantités de ce genre, qui pourraient exister dans le cas d'un sphéroïde quelconque j puisque cette supposition ne fait que changer 2C — A— B, en a(C — A). Il n'existe donc point de quantités semblables dans le cas d'un sphéroïde quelconque, à moins que dans une seconde approximation, elles ne soient introduites dans la fonction

aV* a r/dV"y

-c--"c-Jvdr) •*»

par les valeurs de /8 et ^4> dépendantes des sinus et cosinus de a?. Mais ces valeurs ayant acquis par les intégrations, de grands diviseurs de l'ordre 4«% comme il est facile de le conclure des équations différentielles données ci-dessus; ayant de plus le facteur A — B qui est insensible jusqu'ici pour la Terre, et acquérant encore ce facteur dans les termes indépendans de , qu'ils produisent dans la fonction précédente ; nous nous dispenserons d'y avoir égard. D'ailleurs il résulte de l'analyse citée de M. Poisson , que ces valeurs ne produisent dans cette fonction, aucun terme du premier ordre multiplié par le sinus ou cosinus d'un angle croissant avec une extrême lenteur. Les inégalités de l'intégrale

fdt.y/p'+f + S ou de la rotation de la Terre sont don a insensibles.

Le sinus de l'angle formé* par l'axe instantané de rotation et par l'aie

.... vV+ r *

principal étant > il sorft

et l'on voit par les expressions précédentes de . sin 8 et de gj- ,

qu'il sera toujours insensible. Ces deux résultats sont très importans t en ce qu'ils assurent l'uniformité de la rotation de la Terre, et la stabilité des latitudes terrestres.

Je n'ai point eu égard dans le cinquième Livre, à l'inégalité dépendante du double de la longitude du nœud de l'orbite lunaire, par la raison qu'elle est très petite relativement à la nu ta lion. Cependant, vu la précision des observations modernes, et parce qu'il est facile de la comprendre dans une même table avec la nulalion, je vais ici la déterminer.

Pour cela, je rapporterai les coordonnées X, Y, Z au plan de fécliptique vraie, en faisant abstraction des variations séculaires de cette écliptique, ce que l'on peut faire ici. En désignant par v' la longitude de la Lune, comptée de l'équinoxe du printemps; et par A la longitude de son nœud ascendant , on aura ,

X = /,Vi->'. sin«(t/— A)ccW;

Y = r\ V — >*• sm ' («— A ) » in i Z = r', . y . sin (v' — A) ;

r', étant la distance de la Lune à la Terre; y étant l'inclinaison de l'orbe lunaire à l'écliplique , inclinaison dont nous négligeons les puissances supérieures au carré. On aura à très peu près,

XY = £-[t — iy'+ fr. cos(at/- aA)] sin a*'.

Eu substituant au lieu de t/, sa valeur approchée

mft — \y* . sin (au' — aA) ,