SOMME GÉOMÉTRIQUE

coefficient de ^ — 1 comme les composantes rectangulaires d'une force représentée par le nombre imaginaire donné.

On peut,*par une nouvelle extension, appeler somme géométrique de plusieurs quantités a, fr, c, ... représentées en grandeur et en direction par des droites issues d^un mùme point 0, et dirigées comme on voudra dans l'espace, la résultante S de ces quantités, composées à la façon des forces oa des vitesses; on indique Topéralion de la composition par la notation

De même, la différence géométrique de deux quantités a et i est la somme géométrique de la quantité a et de la quantité b changée de sens; ce qu'on exprime par Tune des notations

S = fl — 6 = fl-h (—1),

— b désignant une quantité égale à fr, mais dirigée en sens contraire.

La différentielle géométrique d'une quantité variable Oa est rélément infiniment petit aa'^ qui, composé avec Oa, donne en grandeur et en direction la valeur infiniment voisine M de cette ijuantité variable. Par exemple, la vitesse acquise élémentaire, jdt^ est la différentielle géométrique de la vitesse v; car, composée avec v, elle donne la vitesse suivante, v-hdv, en direction et en grandeur (I, § 91).

Nous ne ferons pas usage de ces ilélinitions, et nous continuerons à nous servir des mots compositioUy résultante^ au lieu des mots équivalents d'addition géométrique et de somme géométrique.

On a introduit dans le langage une autre expression, celle (le produit géométrique de deux lignes, dont nous ne nous servirons pas davantage. Le produit géométrique de deux lignes est le produit des longueurs de ces lignes par le cosinus de Tangle qu'elles font entre elles, ou le produit d'une des longueurs parla projection de l'autre sur la première. On pouri'a dire, par exemple, en se servant de celte définition^ que dans tout trianyle, le carré d'un côté est égal à la somme des canes

rnoDuir cÉouÉTRfQts. ss

de$ éeux autres, diinimiée du double de leur produit géométrique. Celle délinilion s'applique, en mécanique, à l'expression du travail d'une force. Outre qu'eUe esl peu utile, elle a l'inconvônienl (le ne pas se trouver d'accord, dans tous les cas parliculiers, avec le résultat de la multiplication algébrique. La somme algébrique de deux nombres imaginaires r (cosO -i- y' — 1 sinô) etr'(cos0'4- ^ — 1 sinO') est bien rcpréscaléc parla résullante, ou !a somme géométrique, de deux lignes r et r', orientées dans le plan suivant les directions respectives 0 et 6'. Lo jtrodvU géométrique de ces deux lignes devrait être aussi identique au produit algébrique des deux nombres : or il n'en est rien ; car l'un de ces produits est le nombre réel it' cos (6'— 6), et l'autre, le nombre rc* (cos (O+o'i •+- \/ — i sin(0 + '>')]■

Les résultais ne sont les mêmes que quand les arcs 0 et 0' sont nuls ou égaux à des multiples de la deini-uirLonférencc.

Al-PLICATIOnS DE U TIÛOHIi: DE LA COHPOSITIOH DES FORCES.

28. Étant donné un triangle ABC, on prend les milieux a, b, c des c<!llés BC, CA, ÂB; on joint les points ainsi obtcnusaux sommets opposés, et l'on obtient trois droites Au, Bfr, Ce, qui se coupent en un même point M, qu'on appelle le centre de gravité du triangle ABC.

Cela posé, si ion place en M un point matériel et qu'on lui applique des forces représentées en grandeur et en direction par les droites MA, MB, MC, ce point sera en équilibre.

Il suTtit de démontrer que l'une quelconque, MA, de ces forces est égale et opposée h la résultante des deux autres, MB, MC.

Achevons le parallélogramme MBIC. La droite Ml reprèsenlera en grandeur et en direclioa la résultante des deux forces MB, MC.

:(4 C0VP0SITI02I

Celle droite MI passe au point a, milieu, de BC, car les deux diagonales IIC, MI d'un parallélogramme se coupent muluellement en parties égales. Donc la direction MI se confond avec la direction Ma, et la force MI agit dans une direction contraire à la force MA. On a de plus MI = MA; en efTet, le point a, intersection des deux diagonales MI, BC, est le milieu de MI, et par suite MI est doubledeMa.Mais on sait que les trois mi* dianes Aa, Bb, Ce se coupent au point M en deux segments dmit Tun, MA, est double de l'autre, Ma; donc enfin les deux longueurs Ml el MA sont égales. On pourrait le démontrer, au surplus, en observant que b étant, par hypothèse, le milieu de AC, et Cl étant, par construction, parallèle à frM, le point M est le milieu de Al.

La réciproque est vraie : Lorsque trois forces appliquées en un même point se font équUibrey le point d'application de ee% trois forces est le centre de (jravitédu triangle obtenu enjoignant deux à deux leurs extrémités.

On remarquera que si le point M était sollicité par les trois forces Ma, Mt, Me, il serait encore en équilibre, car ces forces sont respectivement contraires aux forces MA, MB, MC, et égales à leurs moitiés. On rentre d'ailleurs dans le théorème démontré, en considérant le triangle abcj dont le point M est aussi le centre de gravité.

Il est donc très facile de vérifier géoméiriquement si trois

forces, MA, MB, MC, appliquées à un même

point se font équilibre. II suffit de joindre

/ les points B et C, el de prendre le milieu,

a, de la droite de jonction ; Téquilibre exige

^^^ que le point a soit situé sur le prolonge-

KiK. «I. "" ^^^^ ^^ ^'^^' ^^ Q"^ ''on ail MA = Ma x 2.

Autrement l'équilibre n'a pas lieu.

W. Des constructions analogues peuvent être étendues à autant de forces qu'on voudra.

Soient, par exemple, quatre forces MA, MB, MC, MD, siluées ou non dans un même plan. Joignons AB et CD, el soient K et G les milieux de ces droites. Joignons ME, MG. La

DES FORCES CONCOIÎHANTES. 35

oroîie ME représentera la moitié de la rd-sullante des forces MA H iMIE. De même MG représentera la moilié de la résullanle (h MCet MO. Pimr réquilibre, il faut et il suf- „

fît que les deux directions ME, MG soient contraires, el que l'on ait ME^MG. 11 faut cl il suflit, en d'antres termes, que les trois points V,, M, G soient en ligne droite, et qucM soil le milieu de EG.

Si ces conditions sont satisfaites pour In di-oife EG, elles le seront aussi pour la ^'^- ~-

droite HK, qui joint les milieux des cûlts opposés RC, AD du quadrilatère ABCD.

30. Étant donné un triangle ABC, on prend dans son plan un point quelconque, 0, et de ce point, on abaisse sur les trois côtis des perpendiculaires Os, Ob, Oc Au poinlO,on place un point matériel auquel on applique, suivant ces perpendiculaires , des ^^1

forces rcprésenlées sur la ligure par les longueurs OA'^bC, OG'=AB, OB' = AC; U jioint maiMel 0, sohs [action de ces forces, est en équilibre.

Il suffit de prouver que l'une des forces OA' est égale et contraire à la résultante des deux autres. Prolongeons indéfiniment la direction A'O, et par le point C menons C'A" parallèle à OB'. Nous formons ainsi un triangle OC'A" dont les cùtès sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle donné; ces deux triangles sont donc semblables, et par suite ils sont égaux, car les côtés homologues OC, AB sont égaux entre eux; donc A"C'=AC=OB', et OA'' = BC = OA'. La force OA' est la diagonale du parallélogramme construit sur OC', OB', et l'équilibre est déniunlré.

En vertu du théorème précédent (g 28), si l'on joint A'B', B'C, C'A', le point 0 sera le centre de gravité, et les droites OA', OB', OC' les directions des médianes du triangle ainsi obtenu*