DES CENTRES DE GRAVITÉ
THÉOIIËHE DC GULDIH.
KM. Le théorime de Guldin, connu aussi sous le nom de
I iUahu de Pappits, donne le volume engendré par une figure
t, loumaol autour d'un axe fixe tracé dans son plan, en
m du chemin décrit par le centre de gravité de celte fi-
tt^oo bien la superficie d'iuie surface de révolution cngen-
ikpir une ligne plane tournant autour d'une droite menée
B ton plan, lorsqu'on connaît le chemin décrit par le cen-
hèpavité de celte ligne.
ment, le théorème de Guldin permet quelquerois de ir le centre de gravité d'une aire plane ou d'une ligne. !ooncé de ce théorème :
lume engendré par une figure plane A, quand elle fait ktion entière autour d'un axeCB, tracé dans son plan (en hta figure), est égal au produit de l aire \ par la circon-
Tilepar le centre de yravitéGde celle aire. vtppelle A l'aire de la figure, V le volume engendré roiulion, et II la dislance EG I de gravité de l'aire à l'axe
b'ons, en effet, le volume en- Eftr l'élément rectangulaire où l'on voudra dans ta Cmais trace de manièrB que les , pq soient perpendiculaires , et les deux autres calés, mq, np, parallèles au '. Prolongeons lescAtés m», pç jusqu'à la rencontre fea r et t; le volume engendré par le petit rectangle s la différence de deux cylindres droits, dont la haumune est rs, et dont les rayons sont pr et qr ; le voie cbcrclié est donc
Fis- fM,
M8 THtORÊHB
expression qa'on peut mettre sous la forme OU encore
Sous cette forme, il est focile de vérifier l'énonoè du théorème;
car çp Xfm est Taire u de la surface mnpq ; 2c x y ^ ]
est égal à 2c X gh, g étant le centre de gravité du rectaa^ vi gh la distance de ce point à Taxe ; 2c x 9A est donc la c» conrérence décrite par le centre de gravité quand le redai^; fait une révolution entière autour de BC.
Pour passer de là au volume engendré par la flgure totiki on décomposera cette figure en éléments rectangulaires iifr niment petits, on fera pour chacun le produit
où (■> désigne l'aire du rectangle considéré, et h la distancée son cenlre de gravité à la droite BC ; et enfin on fera la sooiij de tous ces produits. Or celte somme sera, à part le (actafl constant 2-, la somme des moments des aires ci) par rapport ij l'axe BC; elle sera donc égale au moment de la somme des aires, e'esl-à-dire au produit de Taire totale. A, par la dislance, H, de son cenlre de gravité au même axe. Le Toluae engendré est donc
ce qui démontre le théorème.
Si, au lieu de faire un tour entier autour de BC,lafigQK décrivait seulement autour de cet axe un angle mesuré (tf Tare a, le volume engendré serait réduit dans le rapport de« à 2::, et serait exprimé par le produit alIA. ■ 2** La surface engendrée par une ligne plane finie, AA', çw»/ 'elle fait une révolution entière autour d*une droite BC, trattt \lans son plan (de manière à ne pas la couper)^ est égale au fnduit de la longueur L de cette ligne par la circonféretice déctUf par son centre de gravité G.
DE Gttl-DIN. SIO
Soil GE:=H la dîslance du centre de gravilè de la ligne 1 l'uif BC ; l'aire engendrée par la révolulion enliùre de li' sera exprimée par le produit
SillL.
Ea eflel, cette aire est la somme kl lires engendrées par les arcs ttnwnlaire» successifs mn, qui compenl l'arc total AA'. Abaissons do< fiais m et n des perpendiculaires
m, w sur l'axe ; l'élémenl mn étant "'
nioimcnt pclil, peut être considéré comme rcctiltgnc; il agadre la surface convexe d'un tronc de cône qui a pour ■tnire la moyenne des circonférences des bases, multipliée ta génératrice fliR, ou bien
milieu de mn; la demi-somme — ^ — est égale à la t gh du milieu de m» h Taxe BC ; le produit précédent
2it X jA X mn ;
it faire la somme de tous ces produits élénieiiLaircs, ce
limienta mullipUer par 2:; la somme des produits mfixp'i,
I mb &omme des moments des arcs mn par rapport à l'axe BC;
1 or le point tj, milieu de mn, est le ccnirc de gravité de l'arc
