D'ELLIPSE OU DE I.EUMSCATE. 3IJ

donc acherer ces dernières inl^grations. Di-signons par P et Q les fonctions qu'on obtiendra, prises entre les limites 0 et 8 qui définissent les deux extrémités de l'arc; 5 et ») étant les coordonnées du centre de gravité, on aura, en appelant S la longueur de l'arc,

tow

équation d'une droite qui passe par l'origine et par le centre de pavité cherché. On pourra tracer cette droite avant de con-

7 Baitre l'arc S, Tonction elliptique de seconde espèce, qui n'est

I pas exprimable en termes finis.

I Pour second exemple, prenons ]a îemniscate représentée en coordonnées rectangles par l'équation

OU en coordonnées polaires par l'équation

On passe de la première forme à la seconde en faisant x = rrosO et !/=:rsinO. Cherchons le centre de gravité d'un irc commençant au sommet, j; = n, if = 0, de la courbe.

De l'équation de la courbe on déduit successivement

i+a'co*ï9d6' =

etpression qui a pour intégrale une fonction elliptique de première espèce ;

= a^coit».(Miax —

v'cosie

' 1 1 CO.^STRDCTIOB fiRAPHIQUI FOUR TROUfia

r xdê^mHi

«*finf

•siiiM = a«(i — cas»)»

n prenant les intégrales entre les limites 0 et 0.

On aura par conséquent, en appelant Ç et ij les coordonnées Tvctjn.ies du centre de gravité d*un arc commençant au sommet H = i\ et finissant en un point 0 quelconque :

ii = — î

Ponc

Le centre de gravite' d'un arc de lemniscate commaiçant n commet de la courte est situé sur la bissectrice de V angle fwni tn joignant le centre aiuc deux extrémités de cet arc.

ro>>TRrCTîO> ORAPHIOn: AU MOTEX DE LAQUELLE OX PEUT DÉTERMIÎŒI LE CLXTKE DE GRAVITÉ D*U>E AIRE PLA^E.

tXVv Si»it AB -lig. 1S4) linéaire plane homogène dont on domande le conre de cravité. Nous chercherons la distance do co pi>inl à une droite XY, tracée arbitrairement dans le plan do la tii:uro. En répétant la même opération pour une s<vondo droilo coupant la première, nous aurons deux distaooos qui dôtiniront la }>osilion cherchée.

Nous pouxons partager l'aire en bandes infiniment petites pnr dos dnntes mu, m'n\ parallèles à XY et infiniment rappriKhées. La position de ces droites est donnée par les

lE CEMRE DE GilAVITÊ DUNE AlflE PUSE. 315

es OM^!/, OM'^y + dj/, à la droite XY, distances peut mesurer sur un axe 00', perpendiculaire h leur m commune.

lions z la dimension mn de la bande correspondante à incc OH=:r/. L'aire AU aura pour mesure l'intégrale et la somme des moments des bandes par rapport à y sera f^ydtf] ces quadratures sont prises entre les

tf=OIl, !/=:0R', qui x- r rc v

londent aux tangentes es de la courbe, islance ^J^ du cenire de

à la droite XY sera le it

; allons translormerl'in-

fiydy et la ramener à îrche de l'aire d'un con- * o :

icé sur la figure. ^'^- '"

e distance arbitraire, 00':= a, de la droite XY, menons rallùle X'Y' à celte droite. Joignons Oh; puis menons allèle à On, jusqu'à la rencontre de X'Y' ; joignons pO; roite coupe la droite mn en ji. Construisons le lieu du . Nous obtiendrons une certaine courbe r^tr', cl l'aire se entre cette courbe et la partie r'rir du contour donné, nnailre l'intégrale /^r/rfj/.

TTel, soit ï' la longueur \i.n. On a, à cause des parai-

tpH, la proportion

7%ê œSSniTcTHHI ttAPUOUK

et Pftrsmte

La distaKe jf^ est donc à la distance OO' dans 1 port des deux aires représentées sur la figure. L stmction peu! d'ailleurs être variée de bien des manié

Si du coDioor r^ on déduit, par la même oonstmcti second contoor r/r'y déterminant une troisième aire, oi en appelant f la dimension ^'n de la bande termioi contour,

par conséquent

De sorte que Taire comprise entre le nouveau contour t la p t Won rm/ do contour donné, multipliée par a*, re; ten rintêçrale /y^y, étendue à la totalité de l'aire d tour primilif.

Li môme consfniclîon répétée une troisième fois oonnaitre, au facteur a* prôs, une aire proportionnelle lê-^rjlo i*ir:./y, et ainsi de suite indéfiniment.

LV^aluation des aires planes se fait très rapides» mo\on du plojùmètre d'AmsUr; Vintégromètre de MA fondé sur les mêmes principes cinématiques, donne d nu nt 1 aire, les coordonnées du centre de gravité, et mejxt d'inertie d'une surface plane, c'est-à-dire les inlJ y"3</y, fy^iy. ff^iy- I^our la description et la théorie appareiU, nous nnverrons à des notes insérées dans 1( nales des Ponts et Chaussées^ 1868, tome XVI, page 2 1872, tome III, page 2:25.