BALANCE ROMAINE

248. La balance romaine (Gg. 220) permet de faire des pesées avec un poids unique, mobile le long d^un fléau gradué.

Le fléau BC (fig. 218) est mobile autour d'un axe H, que Ton tient à la main, ou que l'on suspend à un point fiie, A. D'un côté B se trouve, à demeure, un crochet destiné à suspendre le corps dont on demande le poids Q. De l'autre, un ^ poids P, accroché à un anneau,

n |h p ç P®"^ glisser le long de la tige

$ l T graduée, HC. Le centre de gra*

O vite du fléau et de tous les aC"»

cessoires qui y sont attachés^

Vin 9fft

se trouve, lorsque la barre BC est liorizontale, en un point G situé sur la verticale passai^t par le point II, et au-dessous de ce point.

Lorsque Téquilibre est obtenu, et que la barre BC est hor^izontale, les forces P et Q, le poids q du fléau appliqué en G, et la tension T du lien AH qui suspend la balance, se font éqaiilibre; la tension T est donc verticale et égale à la somnne P + Q + 9 de tous ces poids ; de plus, on a, en prenant les moments par rapport au point H,

(1) PxHD = QxBiï,

d'où Ton tire

Le poids P et la longueur BH sont des quantités constanto^» le poids cherché Q est donc proportionnel à la distance "^^^ riable IID. En faisant sur la barre IIC une graduation con^^^ nable, on pourra lire le poids cherché sur Téchelle. V(P^^ opérer celle division de la droile HC, on mettra le zéro ^^ réchclle au point II; puis on fera Q:^l kilogramme; et 1^^' qualion (1) donnera la valeur correspondante de la distan^^

tlD, ou pIuWl du rapport de HD à BlI. Mats cette maniôre do procéder ciige la connaissance du poids P. On évite la détermination préalable de ce poids, en cherchant empiriquement la posiliori qu'il convient de lui donner pour équilibrer un poids Q déterminé, d'un kilogramme par exemple. On connaît «lors deux points de l'échelle, et rien n'est plus simple que d'tchcver de la construire.

Si le centre de gravité G du fléau ne se trouvait pas sur la verticale du point II, l'appareil pourrait encore servir — 5 j^ î

à mesurer les poids, mats il | | if

faudrait introduire un nou- *'

teau terme dans t'èqnalion (1 ), ''

pour tenir compte du moment du poids q.

On aurait

axDu=ïxm.-i-px![D.

«l par suite

ilD

le terme 9X g

proportionnel à IID. Le poids cherché est donc encore une fonction linéaire de la dislance IID. La graduation de 1» barre se fera par les mômes principes que tout b, l'heure, mais le xéro de l'échelle ne sera plus au point II.

La disposition qui amène le point G au-dessous du point II, augmente la sensibilité de l'appareil tout en assurant la sUbïlité de son équilibre. On accroîtra la sensibilité de la balance, c'est-à-dire l'inclinaison prise par le fléau sous l'actîoo d'une petite dilTérence entre le poids cherché et le poids hi sur l'échelle, en rapprochant le point G du point H.

La figure 220 représente la romaine dont on se sert dans le oonmerce; on lui donne souvent deui crochets de suspension, d deux graduations dilTérentes qui corre<ipondent chacune à un crochet, de sorte qu'on peut à volonté évaluer des poids plas petits ou des poids plus forts.

376 BAUKCE

2t9. La romaine peut servir à résoudre une équation du premier degré à une inconnue, Px = Q. Toute équation do premier degré est réductible à cette forme. On peut supposer P et Q positifs, en changeant, s'il y a lieu, le signe de

ng.tio.

l'inconnue. Suspendons au point fixe A du fléau un poids

égal à Q ; puis à l'anneau mobile M un poids égal à P.

Cherchons par fdlonnement la position qu'il faut donner à

Tanneau pour qu*il y ait équilibre ; à celle position correspond

MO une valeur du rapport ^ qui est la valeur de l'inconnue.

BALAUCE de QIISTEKZ.

; 250. La balance de Quintenz est un appareil dans lequel le poids cherché est tenu en équilibre par un poids plus petit, dix fois plus petit par exemple. Elle se compose d'une plaieforme mobile, qui peut monter et descendre sans cesser d'être horizonlale, et qui est destinée à recevoir le corps dont on demande le poids ; d'un plateau suspendu à la façon des bassins des balances ordinaires, et destiné à recevoir les poids;

DE OUIHTESZ. 317

de deux leviers qui ratlachent l'une à l'au- Ire ces deu\ parties de la maclijne, et qui lounienl autour fues fixes horizontaux et parallèles entre eux. Le système calicresl h liaisons complotes ; un déplacement verlical ii>(imnent petit communiqué à la plaie-forme produit sur le pUlcau un déplacement vertical proportionnel. Soit P le foids déposé sur le plaleau, qui équililire le poids cherché, t),pasé sur la plate-forme. Si on imprime à la plaie-forme I Himnt lu verticale un déplacement vîrlucl inliniment petit, :, kplaleau recevra un déplacement vertical en sens inverse, s', Hl'on aura [lour l'équilibre l'équation du travail virtuel :

De sorte que le poids cherché, Q, sera égal à la fraction iu poids connu, P, qui lui fait équilibre. Il reste donc à éva-

Iwflerappoit --

Voii'i la disposition de l'appareil, que nous représentons coupt! longiludinalcment par un plan perpcndiculaireaux axes fcfOlalion des leviers mobiles.

:..^..CZIL

Ulesl la plaie-forme et R le plaleau ; CA esl le premier le- *Kr, mobile autour de l'axe H, et FE le second levier, mobile ■ulour de l'axe F. Le plateau R est suspendu au point .i du •"ierACLa plate-forme est soutenue par deux points D et M; 'W de ces points, D, esl réuni au premier levier par une tige

M% bala:ice

verlicnlc rigide, articulée en D et en B. L'autre repose en un point G du second levier, ps^r une arête de contact, normale au plan de la figure. Enfin une tige rigide, verticale, articulée en E et en C, rattache l'un des deux leviers à Tautre.

Supposons que Tëquilibre soit établi entre les poids P etQ, et que dans cette position les deux leviers AC, FE soient horizontaux. Imprimons à la plate-forme, suivant la verticale, un déplacement infiniment petit c, que nous supposerons s'eiïectuer de haut en bas. Pour cela, il faut que tous les points de la plate-forme descendent à la fois de quantités égales. Il faut donc que les points D et M s'abaissent ensemble de la même quantité, ce qui impose une condition à la construction de Tappareil. En effet, le point D s'abuissant de la quanlilce, le point B, lié invariablement au point D par la tige rigide ED, s'abaisse de la même quantité; le point M s'abaissant aussi de e, communique ce même abaissement au point G du levier FE ; ce levier tourne autour du point fixe F, et l'abaissement

FE i de son point G entraînera un abaissement ^ X r^r de son extrémité E. Cet abaissement se transmet intégralement au point 4i du levier CU, par l'intermédiaire de la tige rigide CE; les points B et C du mùme levier Cil s'abaissant à la fois de quart-

FE tilés £ et £ X jTjT 5 ces deux abaissements simultanés sontpix)-

porlionnels aux distances BII, CH au point fixe II, et par suite la construction de la balance doit satisfaire à la relation

eu "m

nu bien

Lorsque celte condition est remplie, les abaissements simultanés des points U et M de la plate-forme sont égaux, et par suite tout déplacement infiniment petit de la plate-forme à partir de sa position d'équilibre se réduit à une translation verticale.

oEouiMEvz. nv

Le poids Q s'ahaissant vcriicalement de la quantité e, produit un travail positif Q^. Mais le poids P monte en même temps d*une <iiianlité s' qu'il est facile de calculer, car c'est la quantité dont s'élève le point A quand le point B du premier levier s'abaisse de e ; donc

I <l par suite

Le poids P produit un travail négatif égal en valeur absolue à Pe', et Téquilibie exige que l'on ait

*'esl-à-dire que tout se passe comme si le poids Q était tout entier suspendu au point B du levier.

Si l'on veut équilibrer le poids Q avec un poids P dix fois moindre, on fera HA = HB x 10.

Au lieu d'un plaleau R, suspendu en un point fixe A du premier levier et cliargé de poids variables, on pourrait n'employer qu'un poids unique, P, qu'on déplacerait le long de la lige tIA, comme oti le fail pour la balance romaine ; on peut ?ussi adopter une combinaison de ces deux procédés.

La stabilité et la sensibilité de l'appareil exigent encore que lorsque te levier CA est borizonlal, son centre de gravité soit situé sur la verticale passant par le point II, à peu de distance au-dessous de ce point.

Le déplacement vertical de la plaie-forme LD rend indilTcrenle à l'équilibre la position du poids Q sur celle plate- Torme.

Dans la balance usuelle (lig. 2-22), on ajoute à l'appareil que

nous Tenons de décrire une poignée pour arrêter le moiwmenl quand il ne dmt pas fonclionner, et un repère »,tl, qui penaet de juger de l'horiumlalité da lerier ci.

251. Nous Tenons de traiter ta question k l'aide di Ihèorème du travail nrluel. Nous allons ta reprendre fK les décomposilions de force; nous relrouverons les coofi-

lions trouvées, cl de plus nous déterminerons les tensions des liges CE, BD, et les réactions des points Oies F et U.

Le poids Q du fardeau à peser est appliqué en son cenlre de gravité 3 : décomposons-le en deux forces parallèles, jet}', appliquées l'une en M, l'autre en D. La première q sera égalei

DE OUTNTENZ. 381

et la seconde, ((^ à

La force q se transmet au point G du second levier, qui est en équilibre sous Taction de celte force 9, de la tension T de la tige CE, et de la réaction R du point F. Donc la réaction du point F est verticale, et égale à 9 — T ; et la tension T est donnée par Téquation des moments, pris par rapport au point F :

9XFG = TxEF.

La force f'se transmet directement à la tige DB, et est égale i la tension de cette tige.

Le levier AC est sollicité par la force (f appliquée en B, par la force T appliquée en C« par la force P appliquée en A, et enfin par la réaction R' du point H ; on a donc

9' X B H -h T X CH = p X H A.

Remplaçons (f par sa valeur

et T par sa valeur

FG m KG .

il viendra 00 bien

(,, Ox'"X"'XEFHhDlxFCxCH^,^„,

équation qui donne le rapport de Q à P. Les éqiîauens précô dentés font connaître les tensions des tiges, et les charges R

:»% BAUNCE

el IV des points fixes. L*ëquation (3) est plus générale que Véquulion (2). On remarquera en effet qu'elle contient les quantités MI, ID, qui définissent la position du centre de gravite du fardeau sur la plate-forme^ et que, par contre, nous n a\ons nulle part rencontré dans cette analyse la condition exprimée .par réquation (1). Effectivement, cette équation (1) exprime I que le seul mouvement possible de la plate-forme est unetraoslation verticale, et nous savons qu'un tel mouvement rendindirrérentc à l'équilibre la position donnée au fardeau. Si nous tenons compte de l'équation (1), les quantités MI, DI doiient donc disparaître de Téquation (3). En effet, l'équation (1) nous montre que les produits BH x EF, FGx CH sont égaux entre eux ; on peut remplacer la fraction

m X BH X EF+ Dl X FG X CH Ub X EK

par celte autre

[U\ 4- DI) X (BH X EF) MDxEK '

laquelle se réduit à BH , en supprimant le facteur commun EF, et en observant que MIh-D1 = MD. L'équation (5 i doii'iit

Q x BH = P x HA,

qui n'est autre que l'équation (2).

Les changements de position du fardeau Q ne modifient pîs réquilibre une fois établi, quand la condition (l) est salisiaile; mais ils ont une influence sur les efforts intérieurs dé- , velop|H»s dans les tiges BD et CE ; si on rapproche le fanleau du point I), on augmente la tension q* de la tige BD, on diminue la charge q du point G et par suite on diminue la tension T de la lige BE. On peut, par exemple, placer le fardeau de telle sorte que les tensions T et q' soient égales ; il suffit pour cela qu'on ait la relation

n MI ,, DI Ffi

DE ROBERYAL.

on tire, en supprimant les facteurs communs.