FG EK

S on rapproche du point M le centre de gravité g du farplus on augmente 9, plus on diminue T, et par suite a charge R du point fixe F augmente. Quant à la charge point fixe H, elle est égale à

ure qu*on rapproche le fardeau du point M, ^ diminue Augmente : l'on ne voit pas tout de suite si la somme ' -h T varie, ni dans quel sens. Mais, Pet Q étant les seuls qu'on suppose appliqués à la machine, le poids total I se répartit entre les deux appuis extérieurs F et H, de qu'on a dans tous les cas

somme P -h g' + T = R' décroît donc à mesure que R ente.

BALAKCE DE RODERVAL.

2. La Balance de Robeiraly réduite à ses parties essens, se compose d'un parallélogramme articulé ABCD, dont

Fig. m.

Mes AD, BC sont verticaux, et dont les côtés AB et CD sont

34» BiUNCE

iihres de tourner autour de deux points fixes 0 et 0' placés aussi sur une verticale ; dans la déformation de la figure, les droites AD et BC restent parallèles à la droite fixe 00'.

En des [»oinls M et >\ pris arbitrairement sur les côtes verticaux AD, BE, on attache à ces cotés des bras horizontaux ME, NF, auxquels on suspend, en des points quelconques I d R, des poids P et Q. On demande la condition d'équilibre du svstème.

Appliquons le théorème du travail virtuel. Imprimons ao parallélogramme une déformation infiniment petite; cette déformation s'opérera en faisant tourner d^un même angk infiniment petit AOA', DO'D\ les droites AB, DC, autour As points 0 et 0', et en déplaçant parallèlement à elles-méiiiei les droites AD, BC, qui entraînent dans ce déplacemeol les poids P elQ. La quantité e = lî, dont descend verticalement le poids P dans ce mouvement de translation, est égale à la projection, Ad, sur la verticale, du chemin AA' décrit par Textréinilé A de la droite AB; de même la quantité e'=RV, dont s*éléve verticalement le poids Q, est égale à la projection tctlicale, irt, du chemin BB' décrit par le point B. Or les chemins AA\ BH' décrits simultanément par les points A et 6 de la droite AB, mobile autour de Taxe projeté en 0, sont proporti<»nnels aux distances AO, BO; d'ailleurs, ils font des angles t\i;.mx avec la vcrliciile, et leurs projections sur celte direction leur sont proportionnelles; on a en définitive

Mais le théorème du travail virtuel donne pour équation d'équilibre

Pf = Qf'.

Éliminant les quantités auxiliaires e, s', on obtient pour condition d'équilibre l'équation

PXA0 = QXB0.

Cette relation ne renferme que le rapport ^ des segments

bE liOBERVAL 3i-5

dans lesquels le côlé AB est divisé. Parconsiiquenl, si les poids P el 0 salisfonl a la condition qu'elle exprime, rÉquilîbrf subsistera quelle que soil la renne qu'on donne au parallêlogramme arliculé, quels que soient les points M et N auxquels on implante les bras sur les côtés verticaux, quels que soient enfin les points I et N auxquels on suspende les poids P et Q.

L'équilibre est donc indifférent, puisqu'il subsiste dans toutes les positions de la figure mobile. On peut observer que le centre de gravité des poids P et Q ne change pas de hauteui' par suite delà déformation du parallélogramme, et qu'il ne change pas de hauteur non plus quand on déplace les poids I' et Q le long des droites horizontales ME, M^.

253. Nous traiterons aussi cette question par la méthode de la composition des forces. L'emploi des couples rend les opérations faciles. Nous considérerons séparément l'équilibri' des quatre cAIés du parallélogramme, en remplayant les articulations par les forces équivalentes.

Au point U, appliquons deux forces verticales, en sens

contraire l'une de l'autre, et toutes deux égales à . PNous pouvons substituer à la force ?, agissant en i sui le système rigide formé des barres EM et AD, une force P, égale e panl ■

lèle, agissant en M, et un couple (P, — P), dont le moment est égal à P X IM, et qui tend à faire tourner de droite à gauche son bras de levier IM. Ce couple et celte force sont équilibrés par les actions qu'exercent les barres AB, DC sur les points A et D du même système. Nous pouvons décomposer chacune de ces actions en deux forces, l'une, X et X', dirigée suivant le côté AD, Tautre, Y et Y', dans les directions parallèles AO» DO". Les deux composantes X et X', appliquées en A et D dans la direction du côté AD, se composent en une seule force, X -f- X', qui équilibre la force P ; et les composantes Y, Y', parallèles, forment un couple qui doit tenir en équilibre le couple (P, — P). Donc Y= Y' et, de plus, les moments des deux couples devant être égaux, on a, en abaissant du point 0 une perpendiculaire OS sur le côté CD, l'équation

YxOSr=PxIM,

qui détermine Y.

On connaît ainsi les composantes Y, ï\ des actions exercées par les barres A0« DO' sur le côté vertical AD, et la somme X + X' des composantes verticales des mêmes actions.

On peut opérer de même pour le poids Q ; on trouvera la somme X*' + X*"=Q des composantes verticales des actions des barres obliques sur les barres verticales, et les composantes égales et contraires, Z, Z', exercées dans les directions des côtés obliques, et données par l'équation des moments :

z X os = Q X SR.

Considérons maintenant l'équilibre de la pièce AB, sous l'action des toives X, Y, X^ Z, changées de sens, et l'équilibre de la piiVe IV. sous Faction des forces X', Y', X*", Z\ également i tmninvs do sons. Pour la première, les deux forces Z et Y, a>;issaul dans la direction du point fixe 0, sont détruites par b fixité du point, sur lequel elles exercent dans la direction du côtô AU une pression ê^le à Z — Y. Les forces parallèles, X et X*, doivent st^ inmiposer en une seule, appliquée au point 0. IKuu^ ello$ exercent sur le point 0, parallèlement aux côtés

t)E HOBEUVAL.

wrlimtix, une sdion égale à X4-X', et elles salisfont ii relation

XxAO = I"xBO.

C'c<l la coniiilion ti'iquilibre de la pièce AB,

Hc niéme, la seconde pic'ce DC est en équilibre si l'on a

<no' =