DU COIN. U
lions obliques développées sur les joues du coin, font équilibre à la force F; puis, la force R', égale et contraire à R, , el la force R', réaction oblique de la semelle sur la base du bloc mobile, font équilibre à la force P, réaclion dévcloppËe par la compression du corps.
FtKffiLtMES suit LE rROTTEM£i(T. — GLISSEMENT DE LA COQUILLE ENTRE DEUX CLI3S1Ë1IES.
28S'. La coquille est, dans une machine à vapeur à action directe, une pièce solide rectangulaire ABB'A', au centre 0 de laquelle s'attache la bielle 011, et dont les cAlés latéraui, AB, A'B' formant patins, glissent le long des guides lises MN, M'N'. Le piston pousse el tire altcrnaliTcmenl la coquille suivant sa ligne d'ane OK, et ce mouvement est transmis à la bielle OU.
Nous allons chercher la relation entre la puissance P, appliquée à la coquille dans la direction OP, et la résistance Q, développée par la bielle dans la direction oblique OU, lorsque le mouvement va commencer dans la direction OP. Il y a équilibre alors entre les forces P, Q et les réactions des glissières. Ces réactions se composent donc en une force unique R, qui fait équilibre aux foi ces P el Q, et qui par suite passe par le point 0. Elle fait d'ailleurs avec la normale à la surlace de glissement un angle 9 égal à l'angle du frottement, et cet angle doit élre pris en arriére de la normale par rapport au sensdans lequel le glissement s'effeclue. Deui cas peuvent se présenter.
l'Par le point 0, menons une droite OL, perpendiculaire à MN; puis faisons en avant de celte droite un angle lOL^^. 01 sera la direction de la résultante R des réactions des glissières. Pour que celte solution soit admissible, il laut et il suffit que le point de passage 1 de cette résultante sur n. — aie. eauxiça, 19
Ûi
Ti
r Fis- m.
450 ÉQUILIBRB
le palin AB soit compris dans retendue AB du patin. Car alors toutes les réactions élémentaires développées le long de la face AB sont parallèles entre elles et de même sens ; elles se composent en une force unique, dont le point de passage est nécessairement compris enire les points extrêmes, A et B, de la région du glissement. Dans ce cas, la coquille est pressée contre la glissière MN, et reste tangente à la glissière opposée sans y exercer d'effort.
Etant donnée la force P, on trouvera les forces Q et R par les équations
sin (R, Q) "" sin (P, R) ~ sin (P, U) '
OU bien
cos (f — a) cos f sin a
2"" Si le point I est extérieur au côté AB (fig. 272) , il est impossible que la pression mutuelle de la coquille et des glissières soit concentrée sur le patin AB, et le second patin A'B', fournit aussi une réaction dont on doit tenir compte. Dans ce- cas, la
résultante des forces P et Q tend à faire basculer la coquille autour de son arête projetée en B, et elle est équilibrée par la résistance développée au contact de la glissière M'N' et de l'arête opposée A'. Ce sont donc les points A' et B qui portent seuls. Par le point B, menons une droite BF, parallèle à 01. Cette droite sera la direction de la réaction subie par la coquille au point B, lorsque le glissement va commencer. Pour avoir la direclion de la réaction subie par le point A', il ne faut pas mener par ce point une parallèle 5 01 ; une telle droite ferait bien l'angle 9 avec la normale à la surface de glissement, mais elle ferait cet angle dans le sens du mouvement, et non en sens contraire. On mènera donc la droite A'F' qui fait l'angle 5 avec la normale A'A en arrière de la coquille. Les deux réac-
DES GUSSIËtlES, 461
lions subies par les points B et A' ont les directions BF, AT'; elles seconpent en un poini E, qui appartient à leurrcsulianle R. D'ailleurs, cette résultante passe par le point 0 : donc elle a la direction OE. Pour aclievcr le problème, îl sullit de diterminor Q el R en fonction de P par les équations P Q
siii(u.iii sioii'.n)
puis de décomposer R, transportée au point E, suivant les directions AT', BF.
28ÏI. Pour traiter dans ce dernier cas U question par le calcul, faisons AB^6, AA'^a, et soit f:=tangfi le coefficient dufroltement (lig. 27^).
Soient X et f\ les composantes de la rëaclion du point A', projetée sur les axes 01, OK; ZelfZ les composantes de )a réaction du point B; les équations ''^- '^^■
des projections des forces sur les droites OK , OL donneront
L'éqaation des moments par rapport au point 0 nous donne de pins
Delà première on tire
De la seconde
Substituant dans la troisième, il \ient
53 ÉQUiUDRE DES TIGEH
Cette valeur de Q sert ensuite à déterminer X et Z ; on trouera
j +(|8inBJ = |Qsin«^^ + lV
La valeur de Z est toujours positive ; celle de X ne l'est que si -r >1, ou bien si tangf >> -, condition toujours remplie quand le point I tombe en dehors du patin AB.
1/P — Qi
cussEHEnr de la tigb d un mibtcaii-piloh entre APPtns rtXEs.
290. Une tige AB, verticale, munie d'un ntenîonna H, est soulevée par la came C d'un arbre tournant. Elle est guidée dans son mouvement par quatre guides fixes D, E, F, G. On demande le rapport entre l'elTort exercé par la came sur le menlonnet et le poids du marteaupilon, lorsque la lige est sur le point de se déplacer dans le sens ascendant en glissant sur ses appuis.
Soit H le point de contact de la came avec le mcntonnet; la réaction mutuelle des deux pièces, au moment où le glissement commence, a pour direction HR une droite passant par ce point 11, et faisant avec la normale commune, " UZ, un angle BHZ égal ù l'angle ?
'*" *'*■ du frottement. La force exercée
par la came sur la tige mobile est uue force R, qu'on peut décomposer en deux forces rectangulaires, l'une Z, normale aux surfaces en contact, et l'autre /"Z, dans la direction du glissement relatif. Nous supposerons que la force Z soit parallèle à l'axe AB de la tige. Celle condition est remplie quand la
HE JI*nTE*UX-PlLOKS. iSS
came est profilée suivant une di^vcloppante de cercle; on peut ajouter qu'alors la dislance Illl' de l'axe au point de contact est constante.
La force R est connue en direction; supposons-la connue en grandeur; composons-la avec le poids P, en construisant le parallélogramme OILK, au point 0 on se couppnt les doux directions llfl, AB. Dein cas peuvciil se présenter, suivant que la résultante OS passe entre les appuis D et G, ou en doliors de ces appuis. Dans le premier cas, la lige est appiijàe contre les points fixes D et G situés â gauche de sa direction ; dans le second, elle s'appuie soit contre les points G et E, soit contre les points 0 et F, situés de difTérents câtés de sa direction.
1" Admettons d'abord le premier cas. Le glissement étant supposé imminent sur les appuis D et G, les réactions de ces appuis ont des directions NT, N'f', qui font avec la normale aux surfaces de contact des angles égaux à l'angle ip' du frottcmenl de la tige sur ses guides. Décomposées en une force normale et une force tangentielle, ces forces T et T' donnent les composantes normales X et X', et les frottemcnls f\ et fX'. La force OS étant la résultante de deux forces parallèles NT, NT", est elle-même parallèle à leur direction.
I« problème se traite donc géométriquement de la manière suivante :
Par le point 11 menons une droite llfl, qui fasse l'angle f aïec la normale HZ à la came. Par le point 0 où la droite HR coupe la ligne moyenne AB de la tige, menons 00* pci-pendiculaire à AB, puis faisons l'angle Û'0S=:ç'. Achevons le parallélogramme KLIO, dont lecôtéOK = Pcst donné, te côté 01 représentera la force B, développée au contact de la came, et le Ciïlé OL, une force S égale et contraire à la résultante des forces T et T' qui sont diiveloppèes au contact des guides. On aura donc les forces T et T' en décomposant la force OS en deux forces parallèles passant par les points donnés N et N'.
Le triangle OKL donne la série d'égalités
oubien
CeBéquationi ilimiinnl H 1 1 " flM ■ ■iiiiiiln m iMnwiy nwÉl là force S, suppoate a^ii^qoée m point T, aa dans eaiq»> santés parallèlet, applîqaéM en R rt N',
SxTK' SxTM
Ces résultais sappoient nteessùrament le point V
entre les points N et N'.
3* Passons au second cas, celnioùlapointOne aérait |m
compris entre N etlf, et sopposont que la fige porte aurki;
appuis G et E (Gg. 375); les réactions de ces appuis aor la ti|B.
seront les forces T et T*. qui font arec la normale conuavas
aux surbces frottantes, dans le sens opposé au monTenesl,
les angles TNX=rNT ===/.
Les forces T et P ne swil pins paraUèlea; dles se r»
contrent en un point Y, où on peut les composer. Lenr r^ sultante dirigée dans l'angle ITF doit être égale et contraire à la i^ sultante S des forces R et P. Or kl directions des forces R et P saal connues ; leur résultante S est dirigée dans l'angle HOP; il ftat donc, pour que l'Iiypolhëse sut admissible, que le point Y soit siloè dans l'angle BOP, cl que le pmatO soit situé dans l'angle T^ft. La solution s'achève en joignant OY et en prenant cette droite pour la direction de la force S. On obliendia ensuite T etT en décomposant la force S suivant la direction
■-■"■ ïi>,ïr.
On voit sur-Ic-charop que l'hypothèse dans laquelle oo ferait porter la tige sur les appuis D et F est inadmissible]
DE MAItTEAl!X-l-II.ONS. 4SS
car elle mcitrail en deliors de l'angle HOP le point de rencon- Ire Y des ri^actJons totales de ces appuis.
Pour déterminer les réactions H, T el T', on pourrait aus'i se setvir des équations d'équilibre des forces II, T, T' et P; elles sont au nombre de trois, puisque ces forces sont contenues dans un seul et même plan.
Le glissement de la tige ne peut commencer que dans les lieux cas que nous avons examinés; et pour cela il faut q';c certaines conditions géométriques soient remplies. Si elles ne l'étaient pus, le glissement serait impossible et le phénomène de Vare-boiitement se produirait (g 104). Alors une force aussi grande qu'on voudrait, appliquée à la came, serait équilibrée par le poids de la lige et les réactions de ses guides, sans aiTÎverà produire le glissement voulu.
VALET DE >IENU[SlEn.
291. Soit AB la coupe de l'établi d'un menuisier; CD la coupe d'une pièce de bois posée sur l'établi. On emploie pour la fixer un valet en fer, EFG, dont on introduit la branche droite FE dans l'ouverture 0, cl dont la branche courbe, FG, vient presser la surface de la pièce de bois. On frappe sur la léle F quelques légers coups de maillet. Le valet se coince dans l'ouverture 0, en s'appuyant sur les arêtes M et P de rétabli ; en môme temps il se développe en G une réaction verticale N, qui tend à soulever le valet, et un frot- ^''^- '""•
lement qui s'opposeau déplacement de la pièce CD. II est facile de voir à quelle condition l'appareil doit satisfaire pour que la réaction N ne puisse pas faire glisser le valel dans l'ouverture 0 à travers laquelle on l'a fait passer.
Ptoerqoe le glinaiMt ait Bm— p<htf M, il fttrt qw k léMtion mulodla da wlet el ie k table iMM avK Ik Hnriè à h tortM» de coBiect m e^ égal à rai^ èa llrttlIiMM; j deJBrgnrboh; acfensdeMMfWirtMwMpfrpMdkiilirtiff-j IDràksorfacedeeiMitaelyCreitMiram plaA fiormclttli^ eylindre du takt suhrant rartteFE, poia aieDeBa la faisant avee UW on angle mb égal à l'angle dn celte droite liai ropiteBlcra la dûediaB de h praaeMO d» V| table sor le lalelf ao moBMBt ai le glkaenieBl a
Menona de méaBe PP Bomale à la aminée dn ronlirti et 1> qoi lait afcc celte Bonaale l'bnglePI^ ^al I raagbi frottement. Lorsque le gUseement comaseneara an paintf, droite fusera la diradian de la pression exeioèe an paiatF] la CiUe sor le valet.
Le glissement ne peut dsne se produire aons raetisn islir'^ fnree N qu'autant que cette force est dècpmpoeable ca dnr^ forces suivant les directions liai et l)pv on en dem Ibresiaft^ rieuresauxan||esnililf,pPP.Oreesdendirectionssecsapflit^ en un point ly situé entre le valet et la IbrooN. Lepointésit' à la fois dans les deux angles adiV, P^; donc la dèeosqpssition de la forceNen deux forces appliquées en MetenPaa peut produire le glissement du valet à travers Tétabli (§ 99).
11 en serait autrement si le point I était au delà de la v^ cale passant par le point C. Le coinçage du valet ne saCSraît plus pour assujettir b pièce à la surface de la table.
Pour décoincer, il suffit de frapper quelques coups de maillet, soit en M sur le dos du valet, le long de rétabli, soit ea E, sur rextrémité du valet, de bas en haut.
E!ICLIQUBTA6B DOBO.
292. Un arbre tournant, 0 (fig. S77), porte quatre aiki égales AB, k'h\ A'B% k"'W'\ mobiles autour des points A, A', A', k"\ voisins du centre ; elles sont soutenues dans leur position par des ressorts fixés à Tarbre et figurés en A, A', A',
EXCI.IQUETAGE DODO. m
A"'. Sur ces ailes est c(?ntrée une poulie folle CD, qui en touche le pourtour eïlérîeur, el qui est destinée à transmettre à l'arbre 0 le mouvement qu'elle reçoit. Si la poulie tourne de gnuche à droite dans le sens de la flèche f, elle glissi- à frottement doux sur les ailes, les ressorts llêcliissent légère- . ' ment, el l'arbre n'est pas enlrainé. ' ^, au contraire, la poulie tourne dans le sens de la flèclie f, la poulie Ivnd à entraîner les ailes dans l'aulre sens, c'esl-à-dire à accroître la distance des points B au centre 0; ^'^* *"'
cet accroissement de distance n'étant pas possible, il se produit un nrc-doufeiHcnJ aux extrémitésB des quatre ailes (g 104), elTarbrc 0 e-l entraîné,
Cet appareil permet donc de produire une transmission de mouvement dans un sens, sans produire la transmission en sens contraire.
ÉgaUDUE DE LA VIS.
293. La vis est un cylindre droit à base circulaire, dont la surface cnnvcxe est revOlue d'une saillie continue de forme bèlicoïilali!. On emploie des \is à filets carrés eldes vis à fitels Iriantjiilaires,
La saillie des vis à lilels carrés est engendrée par un rectangle de forme constante obdt, plicê duns l'un des plans diamétraux du cylindre formant noyau, de telle sorte que le câté ac soit situé le long de la génératrice MX. On suppose qu'à partir de cette position le rectangle reçoive un mouvement hélicoïdal, résultant de la composition d'une rolalion uniforme autour de l'axe du cylindre, et d'ui lalîon uniforme, parallèle au même axe.
Fig. «8.
e Iran s-
Tous lei pointa dn reetin^ mouTementdeshilicesdamèBdpu.Eagf'tKinil, ler«cisngla abde ■ ses deux dimensiom tgùn, et k pas ae des hËlke» décrites est ëgil k no multiple de la henleiir ac. U y a d'eit- Icurs des vis i Jlkt «imp/f, à jUsf AeW»/à /ïiw triple, etc.
Les filets triangulaires sfntengeiidréB de la mi^me nianiire, mais UQ triangle Isocèle, ordinaiiemoit (quilal^ral, ; ranplace le rectangle des filets carris, el le pas des hélices est égal à la base da triangle ginèrateur» de sorte que la surrat» enlière du noyau est recouTCrte des ^res successives du filet.
Lavis s'engage dans nn Arou VË (flg. 370) , laraudè intfneftrement de manière fc oOrir en cremla mèoïc rorme que le filet de la vis; l'écrou est donc traversé par un cylindre vide, dont ^ la suriaceest leToaillée suivant un silIoD
eogendrèdela môme mannïre que Icfilel I saillant de la vis, c'est^ii-dirc par la mèm liguregèiiéralrice,aaiiiiéeduniètnemoa> Tement bèltcoldi]. Si l'écroti est Hit, «I qu'on tourne la vis, la vis se déplnce la long des spires de l'écrou, et reçoit par conséquent un mouvement laMicoidal, qui la fait avancer d'un pas pour clisquc tour; si, au contraire, la vis est assujotlie i tourner sur des tourillons fixes, sans "^ pouvoir se déplacer lon;;ilu(linalenieiit,5i
en même temps la rotation de l'ccrou lutour de laïc de la vis est empêchée par dc6 obstacles, lu rotation de la vis déterminera la translation de l'écrou^ à raÏMa d'un pas pour un tour.
Supposons que l'écrou soit fixe(f%. 280) ; soit F, F', un couple de forces appliquées, dans un plan normal k l'aie de l'ap* pareil, aux extrémités d'une barre AB traversant la tàt de la vis et à angle droit sur cette barre ; soit P It résistance agissant dans le sens de l'axe (YO ; il y aun équilibre entre les forces P, F, F", et les réactions dére-
DE LA VIS, *in
II contact du filet cl de l'écrou. Nous pouvons délcr- Ivr la \aleur de la lorce P. Faisons d'aboid altslraclion du llcment entre l'écrou et le file! , ,,
ippliquons le lliéorèmedu Ira- I. Un di.^pl3cement ati<,'uluin!
t petit, 0, de k vis, entraîne un llacemenl longitudinal e. Los raux virtuels des forces F, I'', correspondent à la rotation 0 fe vis, seront ligaux aux produits moments de ces Torccs par gle 4; si donc on suppose les )es F et F' appliquées à des ■oces égalcà OB, UA, de l'asc B vis, et qu'on représente ces pnccsparla lettre 6, la somme travaux des focces F et F' sera Xû. Le travail de la rèsîs- ^ P est négatif et égal a — ?£ ;
l'équation d'équilibre est
tr, soit ii le pas do la vis ; pour un tour, c'est-à-dire pour f rotation égale à 2:;, la translation de la vis est égale à h; èplacemenl angulaire 6 est au déplacement linéaire g dans pèmc rapport, et l'on peut, par suite, remplacer le rapport
tr le rapport ~, d'où résulte l'équation détïnitive
■a force P est inversemcnl proportionnelle au pas de ris h, et, en prenant un pas suflisamment petit, on pourra irccrunefrortaussi grand qu'on voudra,avec un couple, '2Fb, Itensitë donnée. Celte remarque montre l'utilité de la dis-
4W CQuanm
pontion que noua ■vont décrite dans la cinémaliqu« (T, {' soaa le nom de m Hffémuttiie de Pnmg. U est impoisîl^, en pratique, de rèdaire le pns d'une vis au-dessous d'une tataine limite. Nais ai l'on place bout i bout sur le cylindre deux filda de vis, de paa k et h', si I'od ta paaaer la premier filet dani nn écrou fixe, et le second dm un écrou suaceptible aeulemcnt de recevoir un dé^'lacemol longitudinal, la m, en tournant, produira une transhlnndf l'écrou mobile ; et cet icnm s'avancera de la diAV-rence ides deux pas poor diaqne tour de vis. La pression P, ihéifp6e contre nn dMtade par rëowi mobile, sera donc doooh par la formula
et elle pourra être rendue auaai grande qu'on voudra, raitduisaat en conséquence la difTAreoce k — ft*.
S94. Propoaons-Doua, en secnul Ueot de frouver Is nliliK entre la. rétiatance P et le couple moteur F x 2fr, en («■ compte du frottement déreloppéi contact du filet de la vis svec II surface interne de t'écrou-, ih0 supposerons cette roisquelans»
çoive un mouvement descaiiUiL Nous simplifierons le pntbUat en admettant que le contact de i deux parties est concentré loal le long d'une hélice moyenne, tncée, par exemple, h égale disluœ entre le cylindre formant le nojn de Ja vis elle cylindre tangent an bord extrême des filets. Soit r:=OM le rayon de celle hélice moyenne, que représenterons par la courbe Afi. En un point H de hélice, menoas une normale MN à la surface hèliondale, d s ipposons, pour plus de simplicité, qu'il s'agisse de la mi filet carré, auquel cas la normale MN sera contenue dans m plan NMV langent au cylindre sur lequel est tracée l'héliceiB.
ions aussi la tangente à l'iiélice au point M. Au moment ofi le glissement va se produire, la ic^action totale, exercée sw le point M par l'écrou, se décompose suivant les deux directioïis que nous venons de définir, et nous donne une compo- Mnlcaûi'UKile, N, et une composante langeiitielle ou frollt'ment, fti. Ces deux forces font le même angle i avec les droites HT, Mil, menées par le point M dans le plan tangent au cylindre qui contient l'hélice AB, l'une parallèlement à l'axe 00', Tiulre perpendiculairement à la première. Nous pouvims l'.a décomposer chacune suivant ces deux directions ; les compotanlcs de la force N^ei ont Ncosi suivant MV, et Nsinî suivant Hll; les composantes /"N seront de même /"Ncosi suivant MU, H ^siii i suivant le proltmgemenl de HV. Nous aurons donc tttivant MV une force Ncosi — /'Nsini, et suivant MU une force Nsinî +/'Ncosi.
Mous pouvons faire- la même décomposition en tous Irs points de l'hélice AB. En chacun de ces points, nous trouverons de môme deux composantes parallèles à 00', dont la ■omme ei,t N cos i — N/"sin i, ou N (cos i — /"sin i), et deux composantes perpcndiculaiies à l'axe 00', et ayant par rapport à cet axe un moment total igal à (N sin i -H /"N cos i) r ^Nr(sini -h/^cost). Faisons la somme de toutes ces forces loogiludînaks, et lu somme de tous ces moments pour toute la portion d'hélice engagée dans l'écrou. Nous trouverons pour la somme des composantes parallèles a 00' l'expression
et pour la somme des moments
Écrivons les équations de l'éiiuilibre de la vis, qui sont au nombre de deux : l'équation des lorces estimées suivant Taxe, et l'équation des moments autour de l'axe , les quatre autres équations sont satisfaites d'elles-mêmes en vertu de nos sup-
niliOQS. Nous aurons
8Fft = rtii
i—fûixeiss,
4ns ËQUILIDRE
Lliniinant IN entre ces deux équations, on obtient la relation entre les forces P et F :
Pr cosî — /•gjnt 2F6 sîn i -f- fcM t
Remplaçons f par tang^, et multiplions haut et bas pff cos f ; il vient
Pr cos(t-hf) > ,,, . .
2FÏ=sin(. + ;) = "*^f' + »î-
Les forces P et F étant toutes deux positives, la cotangeale de Tangle t + 9 est égalemert positive, et par suite Farei+f
est inférieur à ^.
On a donc
On remarquera que la formule obtenue est celle da glissement sur un plan incliné (g 282), lorsqu'on emploie unefoite horizontale 2Fb à faire monter un poids Pr le long delalipe de plus grande pente.
295. Supposons que le mouvement de la vis s'opère en sens contraire, c'est-à-dire que, malgré Kaction du couple '2F6, la vis remonte dans son écrou sous une pression égaleàP exercée de bas en haut à son extrémité. Pour passer du premier cas au second, il suffit de changer 9 en — 9, car le frottement change de sens. On aura donc
p7=-=»ang(i-y).
D'oii l'on conclut t> 9, pour que les forces F et P soient encore positives.
Pour que les deux mouvements soient également possibles, il faut qu'on ait
ce qui suppose 9 < 'j.
ttttSSE A TIS.
296. Lorsque i-Cç, si l'on supprime le couple moteur 2Ffr, la li-action P du corps comprimé ne pourra produire le mou- Teraent de la vis. Pour une pelile valeur de l'angle i, on pourra donc faire tourner la vis et développer la pression P au moyen du couple des forces F, mais la réaction du corps pressé sur la ns ne produisant pas la rotation inverse, la pression exercée sur le corps se conservera sans altération, même après sup- |tression du couple moteur. C'est sur ce principe qu'est fondée Jat preise à vi$.
HEKDEVEnr DE LA VIS.
297. On appelle rendement d'une machine le rapport du ■travail ulile au travail moteur. Le travail utile, dans le moukement descendant de la vis, est PA pour un tour entier, Buisque la vis avance d'un pas. Le travail moteur est le pro- Huit du moment 2F(/ par l'arc 2i, qui correspond à un tour
iplet; le rendement est donc
Ë:; le rendement es pporl jj — est égal i gala. '7' ..
"* tang (t-Hç)
ipporl fj — est égal & tangi, et le rendement est en dé(î-
II s'annule pour i ^ 0 et pour
1=5 — ?. Donc entre ces deux limites il y a une valeur de i qui le rend maximum. Pour trouver celle valeur, on peut
prendre la dérivée de la fonction -
tangi
lang(i + ?)
Ofl peut aussi recourir au raisonnement suivant. Soit
et l'égaler à zéro.
t sera un nombre positif et plus pcLit que l'unité. Rempla-
ËQUIUBRE DE U VIS.
çons tangt par -
et par suite
, et lang(i-i-9) par
sinJT+ç)
cos (i ■+■ f }
; il vienl
w(i+?l rin(2i+f)^H.m
Le maiim'um de m correspond au maximum de 1 -t- m el au minimum de 1 — m; donc il correspond au maiimum
ou de la fond ion
sin <2i t- f)
i — m' "" sin f
enfin du numérateur, sin (2i-l--f), qui seul est variable; le
maximum cherclié correspond par conséquent à3î + ?^5
ou ô .=j-2-
Cette condition, qui améliore le rendement, ne peut être adoptée dans la presac à vis. Car en général l'angle <f est '
égala 10"; il en résulterait i = 45'' s-= 40*, tandisqu'il
faut que î < 10", pour que la vis ne puisse se desserrer.
DU FBOrTEUE^T DAHS LES EnCREIIira:S.
208. Soient 0, (Y, deux arbres tournanis parallèles, entre lesquels un engrenage établit une transmission de mouvement.
Soient OA et O'A les rayons des
circonférences primitives, et BE,
CD, les profils en prise au point P.
La droite AP est normale à la
lois aux deux courbes BE, CD (I,
§ 215). Appliquons en m,tangcii-
ô tiellement à la circonférence prî-
^^^- ***■ mitivc OA , une force F agissant
dans le sens du mouvcmcnl, et en m', langentiellemenl à la
FnOTTEMENT DANS LES ENGRESACES. 405
f cîi'conftïrencc O'A, une force résîslante F'. Pioposons-nous de chercher les comlitions d'étiuilibre des forces F et F', en tenant compte du frollcment qui se produit en P, lorsque les deux profils sont sur le point de glisser l'un sur l'autre.
La réaction mutuelle des solides en contact au point P peut se décomposer en deux forces; lune normale, l'autre tangenliclle aux profils; celle dernière force est le froltcmenl. Soitll ta réaction normale de la roue 0' sur la roueO; le frottement •era égal à f\\, et sera dirigé en sens contraire du mouvement. Les forces 11' et /11', respectivement égales et contraires aux forces U et (l\, seront les réactions de la roue 0 sur la roue O*. On peut remarquer que lu frottement fW subi par la roue 0' agît dans le sens du mouvement.
La roue 0 est en équilibre sous l'action des forces F, D, /H, et des réactions de l'axe 0; Téquation d'équililjre s'exprimera en égalant à zéro la somme des moments de ces forces par rapport à l'axe; on aura donc, en abaissant du point 0, sur les directions de II et de /11, les perpendiculaires UK, 01 :
F X o« = u X OK + ^n X 01.
De même, en abaissant du point 0' sur les directions de H' et de /H' les perpendiculaires O'K', OT :
H- X O'K' + f\\' X OT s= F" X Vm'.
Or H' et H sont des forces égales. Multipliant membre A membre, et supprimant le facteur commun H, il vient pour féquation d'équilibre
F X On. X lO-K' + fx 01) = F' X OW x iOK + ^x 01).
Donc
Mi
Faisons enfin
0'K'H-/XU'J'
ingle O'AP = te, AP = ]).
jm FROTTEMENT
Nous pourrons remplacer OK par R sin a, 01, qui est égal à AK+AP, par Rcosa-hp, CK' par R'sina, et OT par R' cos a — p ; il viendra
F RsingH-tanyy(Rcosa-t-p) W
F'"" K R'sinaH-langylR'cos» — Pi
sin«-ftangf co8«-f^tangy sin (a -♦- f ) H- Ç «in f sin a -+- tang y cos « — g> tang f sin (a -|- y) — ^, sin f
OU encore, en considérant, au lieu des forces P et F, les moments de ces forces par rapport aux axes 0 et 0',
FR R sin (g H- ?) -H y sin 9
F'R' "" H'siiJ («H- f ) — p sin f'
Si le frottement était nul, on ferait 9 = 0 et la relations réduirait à F = F'.
L'équation générale ne contenant que les moments des forces par rapport aux axes, on peut substituer aux forces F et F', tangentes aux circonférences primitives, d'autres forces ayant des moments égaux.
F On voit que le rapport ^ est toujours un nombre fini, asseï
voisin de Tunité, lorsque la dent^ DE, de la roue menante pousse le profil du creux, CD, de la roue menée, et lorsque la distance AP n'est pas trop grande. En effet, la réaction totale développée au point P est la résultante, S, des forces H et /Il pour la roue 0, el la résultante S' des forces H' et fW pour la roue 0'. La direction SS' fait avec la normale commune HD' un angle égal à l'angle du frottement; or la direction HlPfait généralement avec la ligne des centres 00' un angle assez voisin de Tangle droit, 75° par exemple (I, § 231, 1**); il en résulte que la direction SS' est sensiblement perpendiculaire à 00'; il est toujours possible de trouver pour une telle direction, pourvu qu'elle passe suffisamment près du point A, la valeur des forces S qui font équilibre aux forces données F et F'.
299. Il en serait autrement si c'était la roue C qui menât la roue 0, le creux CD poussant la dent BE. Dans ce cas, les
