DE 11 COUD
millini.
Corde blanche de 30 SU. .
> » de 15 > . .
O.IWi
O.OOW
1 > de 6 1 . .
n.ooï4
Si
0,OHB
> dois .
O.OilOI
O.OtlO
Dans l'applicalion de la formule, on suppose queP, QetR sont exprimés en kilogrammes, et D en mètres.
: ET DES HOITFLES.
354. Une poulie est une roue A, assujettie à tourner autour d'un axe B, qui traverse une chape C, destinée soit à suspendre la poulie à un point ^ fiieO (fig. 337), soit àsupporler un poids Q (fig. 538).
La surface courbe de la roue est généralement creusée en forme de gorge, de manière à recevoir un fil qui l'enveloppesurun arc plus ou moins grand ; une puissance P et une résistance R sont appliquées aux deux exlrémilés de ce Ci. On demande dans quel rapport doivent i^tre les forces P et B, et quelle force Q il faut appliquer à la chape pour qu'il y ail équilibre. Nous furons d'abord abstraction ilc toutes les résistances passives, telles que frottements et raiJeur des corJcs.
Supposons d'abord que l'axe B soit fixe, en sorte que Iii poulie ne puisse que tourner autour de cet axe ; fixons par la
EQUlLIBitC ! îl * la surfare de la gorge ; tout se passe alors comme si les Torccs P et It, qui mtisurent les lensions du fil, éUi«Qt directemenl appliquées aux points d et ^ lan^efilielleœeiil ù b surrace de Iq roue. Li roue se trouve dans les mêmes conditions qu'un treuil sollicité par deux forces P et R. appliquée» è de^ cli.stsnccs épies fia. Hb de son axe, et l'équilibre eii^ que les deui forces P et R soient égales.
Cette condition ulisfaite, on peut reodre au til la liberléde glisser sur la gorge de la poulie ; car les forces P et R, qui le wllidlenl en sens nnnnsfri- èinnl égales, le glisscmenl ne pourra pas se produ»
e de l'ensemble de la poulie i jlé« dans ta direction BC.soi!
1 réaction inconnue du poiiU ipcler Q. U en résulte que leslibre, et par suite elles sonl urenlen un même point, ou îles; dans les deux caj l'une
Considérons ensuite ] et de lacliape.La c par la lorcc donnée fixe 0, que nous p i»
Irois rorces P, 0, idans un même plan lùen elles sont toutes ti'ois | «si la résultante des deui auirus.
Si elles sont toutes troi.i parallèles, comme cela a lieu danslei Sgoies S37 e( 5S8, k fime Q Mt égale A k MUDiBedes dm autres P et R, et ces deux dei^ oières forces étant égales, la charge de la chape est double de la puissance?.
Si les forces P, Q, R ne sont pis parallèles (fig. 339), elles conconrent en un même point L, et h forceQ, donlla direction passe pir le centre 0, est la lùssediice àt Tangle RLP des deux autres forces.
Pour trouver la raleor de 0, menons par le point 0 deui rayons Op, Or, parallèles aux forces P et R; joignons rp, el prolongeons la droite LO, qui rencontre la corde r^i en son milieu 1. Nous pouvons prendre Or, Dp comme les mesures des deux forces égales P et R; U dislance 01 est la moitié de
DE U POUUE.
la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux droiles, et 201 est la mesure de la force Q. Nous aurons donc
Mais le Irianrrlc Oïl est é^jal au triangle 0«K; car ces deux triangles, rcclanglcs l'un en K, l'autre en 1, ont les hypoténuses Ofl. Or, égales ; de plus l'angle lOr du premier est ^gal â iOp, lequel est égal h l'angle OnK du second triangle, leurs côtés étant re'speclivement perpendiculaires. Donc 01 = Ka, et par conséquent
Le rapport r- est le sinus de l'angle aOK, moitié de l'anjile
aOb qui correspond à l'arc ab embrassé par le fil sur le pourtour de ta poulie. Appelant a cet angle, on aura
Celle équation contient comme cas particulier la relation 0 = 2P, qui a lieu lorsque les forces P, Q, R sont parallèles. 355. Lorsqu'on veut se servir de la poulie pour élever un poids, il y a avantage à rendre les doux brins du lîl qui passe sur la poulie parallèles, et par suite vcrlicaus. Car colle disposilîoiiest celle qui correspond à la moindre tension du fil. On peut d'ailleurs adopter soit l'une, soit l'autre des dispositions représentées dans les ligures 557 et 558. Dans l:i preroi<^, la poulie est fixe, el le poids à soulever est allacliè à rexlrémilé du fil bU; la puissance P est égale à ce poids. Dans la seconde, le fil bW est altacbé en un point fixe II, qui supporte une charge égale à la puissance P, et le poids à soulever, Q, est allaché à la chape mobile de la poulie; on a
dans ce cas P=:^^0. Ainsi la première disposition exige rnrii-
ploi d'une puissance égale au poids à soulever, la second
M ÈQDIUBBS
4'une puissance moitié moindre. Le tiiéortme dn bma virtuel confirme ce résultai. Dans le premier cas, la poulie est fixe; si l'on fait parcourir au fil une longueur > dans le sens de ta force P. le poids R monte de tonte la quantité i; donc Pc=IU, A P=R. Dans le second cas, le parcours I efTectué par le point d'application de la force P dans le ' sens de sa direction équivaut à un raccourcissement du fil égala ■; ce raccourcissement se partage par moitié entre les deux brins oP, bR ; il eu résulte pour chacun un raccourds-
sement de s , et c'est de celle quantité que se relèvent la
poulie, la diape, et le poids Q ; l'équation d'équilibre est donc
p=io.
356. Oo peut, en combinant ensembk plusieurs poulies, réduire autant qu'on le voudra le rapport de la puissance au poids soulevé. La combinaison connue sous le nom de moi^lM consiste i réunir, sur laie traversant une chape, un certain nombre de poulies; on fait usage de deux moufles semblables : l'une, A {flg. 540), est attachée à UQ point fixe 0; l'autre, B, soutient le poids Q qu'il s'agit de tenir en équilibre. Da même fil réunit les deux moufles en passant successivement et alternativement sur toutes les poulies qui les composent. La figure 340 représente deux moufles de trois poulieschacune. Le fil, attaché au point C de la première chape, passe sur la poulie 1 , revient de là i la poulie 3, puis passe sur la poulie 3, d'où il remonte à la poulie 4, redescend ensuite à la poulie 5, qui le Fif. su. renvoie à la poulie 6 ; la puissance P est appliquée au brin qui quitte cette dernière poulie. On suppose d'ail-
I lenrs, ih
lenrs, pour plus de simplicité, les deux moufles assez Ëloi- (fnt^cs l'une de l'autre pour que tous les cordons compris dans leur iiilcrvalle soient sensiblement parallèles. La force P peut dire ou n'élrc pas parallèle aux autres cordons ; sa direction influe sur la cliarge de la chape supérieure et du point 0, sans rien changer a la tension des six cordons qui soutiennent Ui chape inl'érieure et le poids Q. Ces tensions sont partout j^les à la force P, si toutefois on fait abstraction du frotteineiil des poulies sur leui-s axes cl de la raideur des cordes. Coupons les six cordons par un même plan intermédiaire aux doux moulles; nous obtiendrons dans chacun une tension égale k P, et l'ensemble de ces six tensions verticales fait équilibre au poids Q. On a donc
Le théorème du travail virtuel conduit h la mi''me relation ; si l'on imprime au fil dans la direction de P un déplacement c, ce déplacement produit un raccouicissemenl égal sur les six cordons qui réunissent les d^ix moufles, et fait monter par conséquent
le poidsQ delà quantité -. DoncPs = 0 X p.*
ou bien P = t; , en supprimant le facteur £.
357. OnappeWe palan différentiel {ùg.'Ôi\ ) un système de deux poulies, l'une A attachée inn point tixcO, l'autre B mobile et portant le poids Q qu'il s'agit de soulever; la pou lie supérieure A comprend en réalité deux roues ag, cdy solidaires l'une de l'autre, tt de diamètres inégaux; un (il sans fin passe surcesystcmeile trois poulies en suivant le cheminabcdefga. Concevons qu'en un point C du brin ab on applique une force P verticale, et supposons que le fil ne puisse glisser ^'^ ■*"* i la surface des gorges des diverses poulies; cherchons les
570 PALAH
tensions dans les différents brins du fil. Les tensions dans les brins edj fg àeront égales, car il est nécessaire qu'il en soit ainsi pour l'équilibre de la poulie B autour de son axe N; les brins étant d'ailleurs supposés parallèles, la trasion T
dans ces deux brins est égale à ^. Coupons le fil par un plan
CD ; nous trouverons dans les deux brins qui aboutissent en d et en g sur la poulie supérieure, ces tensions égales à T ou à
^. Il n'y a pas de tension dans le brin dfj qui tombe librement
du point c, et dont le poids est supposé négligeable.
L'équilibre du treuil A, sous Tadion des troiis forces P, ^y
^, nous donnera Téquation
Donc
PXll4t + |xMd = ^Xll^
quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on le voudra en diminuant la différence des rayons dés deux poulies accolées. Pour traiter la même question par le théorème du travail virluel, faisons descendre le point C de la quantité e ; le point g du fil montera de la même quantité; le point c du fil
Me montera donc de la quantité s X w- ^ et cette quantité mesurera la descente du point A\ le fil qui embrasse l'arc f/V
Me s'élève de s du côté /, et s'abaisse de e X «r- du côté e ; il se
raccourcit donc de e ( 1 — jt,- J , et la poulie B se relève de
1 / Mc\ la moitié, s e ( 1 — rr- ) ; telle est la quantité dont s'élève
le poids Q. En définitive l'équation d'équilibre esl
p.=Qxî.(i-H-;).
UlKFtliENllLL.
équation identique à la précédente, puisque llia=^iSg, et
On néglige le poids du fil, sens quoi il faudrait introduire un terme pour représenter le travail correspondant.
Les tensions du fil étant inégales dans les brins qui aboutissent à la poulie supérieure, on voit qu'il est nécessaire d'empêcher le glissement du fil le long des arcs embrassés sur cetle poulie, si le frottement ne suffit pas pour assurer ce résultat.
ODscnvATio:* stm la thëohec des moufles.
558. La condition d'équilibre de la poulie et des mondes a été, cumme la théorie du levier, l'une des bases de l'ancienoe statique; on peut y rattacher le théorème d» travail YÎrtuel.
Considérons un système matériel en équilibre sous l'action de forces F, F', F".,., respectivement appliquées en des points A,A',A%....
Supposons que les forces F, F', F'..., soient proportionnelles
k des nombres entiers, m, m', m",
F F' F" mune des quotients — , — ;, — =...
^ mm' m
trouver des nombres entiers
qui soient proportionnels
aux forces données, sinon
rigoureusement, du moins
avec une approximation
aussi grande qu'on voudra.
Remplaçons la force F
(6g. 342) par une paire de ^
mouDesdont l'une, B, sera ''
attachée au point A, et dont l'autre, C, sera traversée en son
et soit T la valeur com- . U sera toujours possible de
un DËHO^STHATION D|i thèouëne
centre par un axe fixe 0 choisi de telle sorle, que la droite Au
coïncide avec la direction de la force F. Nous composerons
ces moufles d'un nombre de poulies tel, qu'une section faite
dans les fils entre les deux cliapes B et C nous donne m fils
tendus.
Nous pourrons de même remplacer la force F' appliquée en A' par une paire de moufles présentant m' cordons, et nous pourrons faire passer sur les poulies de celte seconde paire le fil CD qui quille la première au point C.
De même, pour produire au point A" la traction F", nous appliquerons en ce point une troisième paire de moufles à m' cordons, sur laquelle nous ferons encore passer le même fd à sa sortie delà moufle précédente.
Si l'on opère ainsi pour toutes les forces, il sullira d'appliquer au bout du fil un poids égal à T, pour produire partout dans le fil une tension T, et pour développer dans les liens qui attachent les chapes aux points A, A', A",..., des tensions mT, wi'T, m"T,..., égales aux forces F, F', F",...
Cela posé, donnons au système matériel un déplacement infiniment petit quelconque, compatible avec ses liaisons ; ce déplacement va faire varier les distances respectives des points A, A', A", ..., aux points fixes 0, 0', 0", ....auxquels ils sont réunis par les niouHes; soient i, e', t",..., les variations des dislances OA, O'A', 0"A',.., prises positivement quand la distance diminue, négotivemenl quand elle augmente. Celle variation va produire un déplacement du fd à la surface des poulies; pour une diminution de e dans la dislance des points B et C, il se déroulera de la paire de moufles BC, qui est à m cordons, une longueur de fif égale à m: ; les variations e', e", ... des aulres distances produiront de même le déroulement (positif ou négatif) de longueurs de fil respectivement égales à mV, à mV, ...; en définitive, le déplacement imprimé au système produira sur le poids tenseur T une descente totale égale à
m, + mV + mV-J-...
Or ce poids tenseur est la seule force qui, étant donnée I
DU rnAVAiL vmnEL. 673
nouvette constilulion du système, puisse y produire un déplacement elleclil; comme il tend à descendre et non à monter, on est ccriain que le déplacement fictif que nous avons imprimé au système ne pourra se produire si la somme
m, + m'(' + ni"€"-(-...
est nulle ou négative.
Mais si les déplacements du système sont possibles dans les deux sens, on pourrait, dans le cas où cette somme serait négative, la rendre positive en considéi'anl un déplacement contraire au premier ig 107). 11 faut donc qu'elle soit nulle pour que le poids T ne puisse descendre ni par l'un ni par l'aulcc de ces deux déplacements contraires. Donc enfin, pour que le système soit eu équilibre, c'ost-à-dire pour qu'aucun déplacement ne puisse y résulter de l'action simultanée des forces, il faut et il suffit que la somme wi£ + m't + m'e," -h ... soil imlle pour tout déplacement compatible avec les liaisons, ou, ce qui revient au même, que la somme
Tins + T»i V -1- Tm"e" + ...,
OU encore la somme
K,4-rf' + K"<"+...
soit égale a zéro, quel que soit le déplacement fictir que l'on considère.
Culte proposition n'est autre chose que le théorème du travail virtuel. La dèmonsiration très simple que nous venons de donner est tirée de lu Mécan'ujue analytique de Lagran;;e.
tQOtUBBB DE lA TOULIL ET DES MOUFLES QOAHD ON TltllT COUJTE DD FBOTTEHENT ET DE LA RAiDEUR DES C0<1DES.
359. Soit 0 (fig. 543) le centre et lîC la circonlérence d'une poulie sur laquelle passe la corde DE; une puissance P et une résistance Q sont appliquées aux exlrèmiiès de celte corde. Nous pouvons regarder la Ibrce P comme tangente k la poulie au
