On peut aussi obtenir par le calcul la relation entre P

et Q. Le frottement de la poulie sur l'axe est égal au produit

f R ' « et l'équation des moments nous donne

Pr = 01-+ R -^=^p = Qf + RAp

en remplaçant par f^ le nombre — —

La valeur numérique de r' se déduit de la formule de la raideur des cordes.

Soit F la portion de la puissance P capable d'équilibrer la résistance Q, en supposant qu'il n'y ait d'autre résistance passive que la raideur de la corde. Nous avons posé (g 553) l'équation

Donc

A + BQ

et multipliant par r,

r A . A -4-00 Fr=QrH ^ — .

Ot Fr est égal au produit Qr^ ; car c'est par l'augmentation du bras de levier de la force Q que nous tenons compte de la raideur de la corde au passage de la poulie. Donc enfin

Substituons cette valeur dans l'équation des moments ; il vient :

Fr = Qr + 5 (A H- BQ)-|-RA/,;

Hais R est la résultante des deux forces P et Q, dont les directions sont données, et on a

R> = P» + Q» + ÏP(1«»(P, Q)

Remplaçant R par sa valeur déduite de cette dernière rektion, on a l'équation finale qui ne contient plus que P et Q :

Pr=Qr4-|(i + BQ)+/ipv'P' + tt* + aPQc"i(l'. Q)-

Si l'on fait disparaître le radical, on sera ramené à une équation du second degré, qui fera connaiire P en fonction de Q. On peut aussi procéder par approximations suc> cessives, ou enfin substituer au radical une fonction linéaire de P et de Q, par . la mélhôde d'approximation de Poncelet (§275).

L'équation se simplifie quand les forces P et Q sont parai* lèles. Le radical se réduit alors à P -H Q, et Ton a par conséquent

P(r-/'.pl = Qr + i(A-|-BO) + /lf(ï,

ce qui donne entre P et Q une relation de la forme

301. Nous allons appliquer cette relalionà ri-quilibre des mouRes, en tenant (.oniplc à la lois du fiolleincnt et de la laideur des cordes.

Soil M la moudc supérieure suspendue au poinl fixeO; N, la moude intérieure qui porte le poids Q; P, la puissance appliquée au bout de la corde qL.i passe sur toutes les poulies, renvoyée alternativement de la nioullc inférieure il la supérieure et de la supérieure à rinfiTieure. Us cordons sont tous scnsibio- Fig. 3tj. ijicnl ]t;iiallèles enli'e eux,yinsi qu'aux forces P elQ, et si l'on appelle T„ T,, '\\, 'î^, les lensious de ces cor-

DES MOtFLES. 577

dons successifs, les poulies étant toutes dans des conditions ideoUques, oa aura la série d'équations :

= <i+tT.-

= a + iT^

Le poids Q est équilibré parla somme des tensions des cordons compris entre les deux moufle;; donc

Ces équations montrent que P et Q sont des Tonctions linéaires de T,, et par suite, que P est une l'onction linéaire de Q. Nous poserons donc

■ et ^ étant des coefficients qui dépendent des coefficients a et 6 et du nombre».

Pour déterminer ces nombres <x et ^, cherchons d'abord à exprimer P et Q en fonction de T,.

Retranchons la première équation de la seconde, la seconde de la troisième-., l'avant-derniére de la derniérei il viendra la série de relations

T,T, = 6(7» — T,), r« — Ti = 6(T, — T,).

P — T, = 6(r, — Ti,-,)î

lesdîlTérencesT. — T., T, — T,....,P — T., sont donc les termes d'une progression géométrique dont la raison est b; faisantla somme de tous ces termes, on aura

p-r,= iT,— r,)(i-(-i + t»

ml T, par sa talrar a + bT,, il vient

jX[«+i>-l)T,| = i

fwriv«irdein^meQ(!nronctiondeT„ obsenrons qoe l'éipialioa prècUffttf. qui itonnc T, Tail é^alemcril connailre T^ T,T,.^... T,. en rempUçanl successivemeot n parn— 1, ■ — %...i. Koiu trons ainsi

nuqtieUes cm peal jotodre rideoUlé T, = T,. int tmin cei équaUona membre à

+ T,tl + *-»-...+l'-*l

-fznlT^Tï— j+T.T— i*

On I donc k la fois

Multiplions la seconde par ' ^. , et retranchons; T, «en (-Itiniué, et nous aurons poar déterminer a et ^ l'équation

^^p DES UOITLES. Un

La relalion P=a + flQ montre que le rendement de la macljine augmente avec le poids Q; plus le poids soulevé est grand, moins le terme constant a conserve d'imporlancc, et il devient môme complètement négligeable pour une valeur très grande de Q. Ce terme a représente, pour ainsi dire, les frais génhaux d'une enlreprise, et le terme PQ, les fiait proportionnels. En général, l'importance des frais généraux est d'autant moindie que l'entreprise prend des développements plus étendus.

ÉOflUBRE DES POLTGOSES APTICDLÉS SANS FBOTTCMEM.

362. On dit que deux corps solides sont articulas l'un avec l'antre, lorsque ces deux corps sont liés ensemble, soit par un point commun, soit par un axe, de telle sorle que leur liaison permelte certains mouvements de l'un des corps par rapport & l'autre.

Lorsque les deux corps n'ont qu'un point commun, on dit que l'arliculalion est spbérique; si l'on iixe l'un d'eux, tes points du second sont assujettis par la liaison h se mouvoir à la surfuce de sphères décrites du point commun comme centre. On réalise cette articulation, soit par un genou, sphère pleine appartenant au premier corps, emboiléc dans une spltère creuse ménagée dans le second, soit par un joint de Cardan (1. §293).

Lorsque les deux corps ont deux points communs, auquel caschacun est assujetti à tourner, par rapport à l'autre, autour de l'axe qui joint ces deux points, railicuLiIion est dite c^liiidiiiiue ou à charnière. L'arliculalion à charnière constitue une liaison plus étroite que l'articulation sphérique.

363. Un polggone articulé coin^istc en une séiic de corps solides A„ A,, A,,.,. A,, dont le premier, A,, repose sur un ou plusieurs appuis ûxesO.O'...; le second, A,, est articulé au point a, avec le corps A, ; le troisième. A„ est articulé au point a,avcclecorpsA,, et ainsi de suite, jusqu'au dernier corps A,,

5ii ÈQCIUBEB

qai est aiiicidè ayec le précédent aa poini o»^, et qui rc- * pose SOT des appuis fixes m, m\ ... Nous supposerons que toutes ces articulations soient sphériques, et qu'il n'y ait aucun frottement ni dans les articulations ni sui* les appuis.

Pig. SIS.

Proposons-nous de trouter les conditions d'équilibre d'un système ainsi formé, sous 4'action des forces qui y sont appliquées, et que nous désignerons d'une manière générale par I les lettres (F^), (F^, (Fs)t**- (^ • i^ù représente le groupe des forces appliquées au corps A^; (FJ« le groupe appliqué au corps A,, et ainsi de suite. Supposons que l'équilibre ait lieu ; nous iie le troublerons pas en introduisant de nouvelles liaisons dans une portion quelconque du système. Solidifions donc toutes les articulations. Le polygone articulé se change en un système solide, et l*équilibre exige, par conséquent, que l'ensemble des forces extérieures, y compris les réactions des appuis extrêmes, satisfasse aux six équations d'équilibre d'un système solide libre dans l'espace. On se servira de ces six équations pour déterminer, s'il est possible (^91, 147), les réactions des points 0, 0',... u>, u>',... Nous supposerons que celte détermination soit faite, et nous désignerons par (R) le groupe des réactions développées aux points 0, (y,... sur le corps Ap et par (R') le groupe des réactions développées aux points u), (i>',... sur le corps A..

Cela posé, deux corps consécutifs, Aj^ et A^^^^, ayant un point commun aj^, exercent l'un sur l'autre deux forces égales et contraires que nous représenterons par f^ et — 9^, et qui pas-

DES POLYGONES AniICULÉS. S81

sent par le point «». Solidifions les arliculations a„ «„... jusqu'à «,,; le corps soliJe A„ A,.... At esl en é-iuilibre sous l'aclion des forces (R|, (F,). (F,),... (F,) el ç». Donc -ç. est la résultante des forces données (R), (F,), (F,),... (F,); et de même, ?, est la rcsultnnle des forces données (F,^,),... (F,) el (R'I. Pour qu'il en soit ainsi, il faut el il soflit que la somme des moments des forces (R), (F,),... (Fj), soit nulle par rapport h tout axe passant ptir le point «i- Celte condition est suffisante, car si elle est remplie, le sjsième des forces (R), (F),... (F,) admet une résultante unique passant par le point a,. Mais le groupe lolal (II), (F,),... (F,), {R') étant en équilibre, la somme des moments de toutes les forces par rapport à un axe quelconque est nulle; si donc la somme des moments des forces (R), (F,).... {F») est nulle par rapport ù un ane passant au point «„ la somme des moments des forces (F»+,l, (Fj).., (R'), sera aussi nulle par rapport au même axe, de sorte que le second système (F**,),..- (F,), (R') est, comme le premier, réductible à une résultante unique passant par le point a,. Je dis de plus que les deux résultantes sont égales el contraires. En effet, la résultante de translation du système lolal étant nulle, si l'on partage d'une manière quelconque le système en deux systèmes partiels, la résultante de transla- Uon de l'un sera égale el contraire â la résuilanle de translalion de l'autre; car la composition de ces deux résultantes partielles doit donner zéro pour la résultante totale.

En résume, il faut el il suffit, pour que l'équilibre soit assuré : 1* que les forces extérieures satisfassent aux six équations d'équilibre ; 2° que la somme des moments par rapport k tout axe mené par citaque arliculalion soit nulle pour toutes les forres extérieures appliijuées à l'ensemble des corps solides situés d'un môme cftiô de celte articulation.

La réaction ç, s'obtiendra en composant les forces (R) et les

forces (F,); la force Çj, en composant (R), (F,) cl (FJ, ou, ce

qui revient au même, en composant la force — 9, et les forces

(F,), et ainsi de suite.