Si une ou plusieurs arliculations du système étaient

FSRieS

cylindriques, il raffirait que la somme des mmnents des forces eitërieores appliquées à Fensemble des ewps sUoës d*un cdté de cette articulation, fût nulle par rapport à Taxe de la charnière; ces forces atérieures, y compris les réactions des appuis extrêmes, seraient alors réductibles à un couple situé dans le plan de l'axe.

Quelquefois les articulations d'un système sont fictives. On suppose, par exemple, qu'une charpente est c<miposée de pièces articulées ; Téquilibre réalisé dans cette hypothèse sera à plus forte raison assuré quand les articulatiims seront rempkMDées par des assemblages rigides.

rSUlIBS EU CHABFERTE*

365. L'équilibre des fermes que Ton emploie pour couvrir les édifices, donne un aemple de la théorie des systèmes articulés.

Considérons d'abord une ferme du système le plus simple. Deux arbalétriers égaux, et également inclinés à Ihorizon, AB, A'B, viennent s'assembler au sommet B ; leurs pieds A, A',

sont engagés dans un entrait AX' , qui achève le triangle isoscèle A B A'* L'entrait est posé sur deux murs verticaux , dont les coupes sont indiquées en M et W. On suppose en- *''g 317. fin que chaque arbalétrier

ait à supporter une charge uniformément répartie sur toule sa longueur, à raison de p kilogrammes par mètre; celle charge comprend , outre le poids propre de larbalétrier, le poids des pannes, des chevrons, des tuiles, des ardoises, de la tôle ou du zinc, que Ton emploie pour rendre la couverture étanche , enfin les charges additionnelles que la

EN C1Ur<i>KNTS. SUS

toiture peut avoir à subir, par exemple le poids des nci^r^s. I Chaque arbalétrier sera en équililjre sous l'action du poids uniforraémenl répaiii pxAB, qui le sollicite, et des réactions exercées par les pièces avec lesquelles il est en cnnlact, à son pied et à son eommet. Au somme! B, les deux orbalétriers exercent l'un sur l'autre des aciinnï mutuelles el égales ; la symétrie de la figure et des charges, par rapport au plan yertical moyen BC, exige donc que la réaction des deux arbalétriers au point B soit horizontale. Appelons H celte réaction. Considérons à part l'un des arbalétriers AB. Il est sollicili'^ par son poids total, pxAB, que l'on peut supposer appliqué au milieu i de la longueur AB, puisqu'il est également répa[ti. Il est en outre sollicité par la Torce R, liorizonlslc et appliquée en B. Cette force a une intensité inconnue. Pour la délennincr. composons-la avec la force verticale P^pxAB, en transportant ces deux forces ou point G où se rencontrent leurs directions. La résultante, devant être équilibrée par la réaction du point A. doit passer par ce point ; elle a donc la direction GA. Prenant sur la verticale Gl une longueur GK pour représenter le poids donné P, on trouvera, en achevant le parallélo{^ramme GKLNG, la longueur GN qui représente la réaclion il au sommet, el la longueur GL qui représente une force égale el contraire à la réaction de l'appui inférieur A. Celle force, appliquée en A suivant AG, peut être décomposée suivant la verticale el l'horizontale; la composante vcrticals sera égale à GK ou à P; l'horizontale, égale à GN ou à H, est la tension développée dans l'entrait.

Pour calculer la force R, qui représente k la fois la leision de l'entrait el la pression mutuelle des deux arbalétriers au point B où ils s'assemblent l'un à l'autre, on peut appliquer le théorème des moments.

La force horizontale R, appliquée en B, la force verticale P appliquée en I, et la réaction du point A se faisant équilibre, la somme de leurs moments est nulle par rapport à un axe quelconque. Prenons pour axe la perpendiculaire élevée au point A sur le plan de la figure. Le moment de la réaclion ap-

fénin

toot j est

Bsrxs.

fafèdie]IC.OBaDfa

WÊÊtikèb

€tt wbfuA mifiiniièinciit

fgoMèMeen sappoqa'dle soit non toajoors qoe

aiMèlrier AB, AI.

iépaiflie,i iûm étf kSogriBBes parmètre de IongMv pour ru, et de p' UogniniDes pour Pantre. La résultante des poids de chaque arbalétrier sera verticale, applifsée aos milieax I, P de cliacan, et ^le à P=:pxAB pour le pranier, et à P^^/x A'B pour le second.

n- st&.

La réaction raiiluelle, R, des deux arbalétriers au point B ne sera plus horizonlale ; mais en vertu du principe de l'action

DTTIE FERHB. 589

égale à la réaction, la forre BU, exercée par l'arbalélrier BA' sur l'arbalétrier BA. sera égale et contraire à la force BR' exercée par l'arbalélrier BA sur l'arbalétrier BA'.

La tension T développée dans l'entrait AA' aura la miîme valeur aux points A et A'; elle sera dirigée de A vers A' au point A, de A' vers A au point A'.

Exprimons l'équilibre des deux arbalétriers pris séparément; pour cela, prenons les moments par rapport aux points A et A', ce qui élimine la tension inconnue T. Nous aurons, en abaissant les perpendiculaires AU, A'H' sur la direction de la réaction It,

PxAK = RxAIi.

BxA'H'=P'xA'K'.

Multipliant les deux équations et supprimant le facteur commun R, il vient :

Celte dernière équation fait connaître le rapport -jrz-; or

prolongeons la droite Illi' jusqu'à la rencontre au point 0 avec la droite AA' prolongée. Les ti'iangles OA'fi', OAU donnent la proportion

OA' Le rapport -r^ étant égal à un nombre donné, on pourra

trouver le point 0 sur le prolongement de AA', et joignant OB, on aura la direction de la réaction mutuelle.

On pourra alors déterminer la valeur R de cette réaction au moyen de l'une des équations dus moments.

Comme le point 0 peut être très éloigné, il est plus mode de déterminer sur le cùté BA du triangle ARA' un point F tel, que l'on ait la pruporlion

n FxMi' âv

d h dfawfiiB chcvAèc ni s wbCBdn • MepvdUleàbdraiteAT.

parle point

A IiABJOBàl».

SC7. Soit AHdrA' «ne fene symétrique par rapport au plan fcrtieal CD« et sfaétrkpienient diargèe; les poids répartis de A en B sont rèdoctiUes i vn poids P, appKqaë ao milieu I de la longueor AB; les poids répartis de B en C, à un poids P, appliqué au milieu K de la ion* gueur BC. Des poids égaux à P et à P sont appliqués en K' et en T.

^*« ***• On donne les distances AD = /,

DC=/*, AH = m, HB^fc, et Ton demande à quelle condition les forces P et P doivent satisfaire pour l'équilibre.

Les articulations A, B, C, B', k\ peuvent être supposées cylindriques, autour d'axes perpendiculaires au plan de figure.

A cause de la symétrie de la figure et des forces, il suffit de considérer une moitié du système, située du côté du plan CD; la réaction mutuelle des deux parties de la ferme au point C est une force B horizontale. Appelons X et Y les composantes de la réaction subie par le point A, estimées suivant l'horizon-

(aie AD et la verlicalc AZ, el f et p' les distances au point A

des forces P elF. On en déduit p = ^ et p'=:~^. Nous

aurons pour exprimer l'équilibre du contour ABC les (rois é<]itaiioas :

Celte derniôre équation l'ait connaître R ; la première donne ensuite S. La seconde fait connaître V.

U faut de plus que chaque côté AD, BC soit séparément en équilibre sous l'action des forces qui le sollicitent, y compris la réaction mutuelle développée en li. Prenant les moments par rapport au point B, on élimine celte réaction, et on doit avoir, pour lemorceuuAB,

Px| + XA = YXM,

el pour le morceau DC,

Ces deux équations rentrent l'une dans l'autre, en vertu des équations d'équilibre de l'ensemble ; si dans la seconde on

rvH-py

remplace R par sa valci

y il vient pour la condition

d'équilibre l'équation suivante

on bien, en remplaçant p et p' par leurs valeurs et en rédui-

SIQt}

Si celte condition est remplie, la résultante de la force h

OOmiiB A U MANSABD.

et de la force P passera au point B, et sera la iraleur de la réaction dé^oppëe dans rarticolation ménagée en ce point.

Cette réaction composée atec P aura une résultante qui passera en A, et qui, décomposée suivant les directions AD, AZ, fera connaître X et T.

368. L'équilibre n'est possible que ai une certaine condition est remplie. Si les poids supportés par la toiture Tenaient à

être altérés, la toiture devrait changer de forme pour ramener l'équilibre, h moins que la raideur des assemblages en A, B, G, n'intervint pour empêcher les déformations. CSe serait là une mauvaise charpente. On évite ces inconvénients en reliant les points B et B" par un atlrotl BB'.

Appelons T la tension dévelojqpée dans l'entrait, et exprimons réquilibre du contour ABC; nous aurons les trois équations :

X + T — RsrO,

R/"— Pp — py — TA = 0.

Puis, pour réquilibre individuel du côté BC, en prenant les moments par rapport au point B, ce qui élimine à la fois la réaction du côté AB et la tension T,

Fig. S50.

RX(A-A) = P'X

La dernière équation donne R, la troisième donne ensuite T. Les forces X el Y sont déterminées par la première et la seconde, et l'équilibre est toujours possible.

ËQ: lUBRE DE LA GIlUg,

Z DE LA UnUE.

ÎS69. la grue tournante reprùsenlée par la figure 351 es! un appareil desliné au chargement et au déchargemenl des wagons vt des navires.

Elle comprend un arbre vertical OB, posé sur une crapaudineO, et a,ipuyé lalétalement, dans la région A, sur un collier de galets; la partie OA s'enfonce dans un puits nïservé au milieu d'un massif de mni,'onnui'ie, et ta partie AB Tait saillie au-dessus du sol. L'axeOB porte une charpenlR formée deilcux pièces obliques, l'une W, apptstée tirant, l'autre vf', appelée volée; ces pièces se réunissent en un point situé en dehoi s de l'axe; le tirant, formé de deux poutres jumelles, dépasse la volée d'une ceitaine quantité; on y attache une poulie fixe D.

sM taciuBni

sur laquelle on fait passer une corde dont l'exfrémifé est liËe au tirant, et qui porte une poulie mobile m, i la chape de laquelle OD suspend le fardeau. L'autre eifrémité de la corde s'enroule sur un treuil T, .J- dont l'aie, supporté par l'axe vertical OB, emprunte son mouvement à une manivelle n, par rinfemédiaire d'un équipage de roues dentées.

Soit P le poids soulevé par la grue (fig. 553). La tension de la corde qui passe Bur la poulie mobile

sera égale & 5P;le tirant tr

est donc sollicité par deux forcés, dont Tune est verticale, appliquée en E au pcrint d'atlacbe de la corde, et égale

& s P ; l'autre est la résultante de deux forces égales i

= P, agissant toutes deux sur la poulie D, suivant les deux

brins qui passent sur cetle poulie; elle est bissectrice de l'angle des deux brins. La résultante B de toutes ces forces s'obtiendra plus simplement en composant le poids P, transporté au point G, avec une force -s P appliquée suivant le cordon DF. La volée VV doit soutenir le tirant le plus près possible du point de passage de cette force R; décomposant la force R suivant les directions VV et tC, on aura la tension S du tirant, et la compression C de la jambe de force. '

L'arbre vertical est donc sollicité par une force l'S, qui agit dans la direction du tirant; par une force V'C, qui agit dans la direction du prolongement de la volée ;enfm partes actions exercëessur le treuil et les manivelles,tant par la puissance que

par la force ;^ P, (ension de la corde qui joue le rôle de résistance sur celle parlie de la machine.

On trouvera l'elTort nécessaire pour soulever le poids P en exprimant l'équilibre du système formé par le Ireuil, les manivelles et les roues déniées intermédiaires. Appelons / la force, ou la somme des forces appliquées aux manivelles dans la direction du mouvement à produire, X la longueur des manivelles, e la raison de l'équipage de roues dentées il, g 219), r le rayon du cylindre du treuil ; un déplacement angulaire « imprimé aux manivelles produit un déplacement angulaiie a; sur le treuil; les déplacements linéaires dos points â'applicalion des forces sont lespeclivement \a et rae , el l'équation d'équilibre est

Prenons pour exemple une grue dans laquelle les mnni- ■velles ont une longueur X triple du rajon r du treuil, et dans laquelle l'engrenage se compose des roues dentées suivantes :

Sur Paxe des manivelles, un pignon de 9 dents engrenant avec une roue de 5i ;

Sur l'axe de celte roue, un second pignon de 9 dents, engrenant avec une seconde roue de 54 dents ;

Sur l'axe de la seconde roue, un pignon de 1 1 dents, engrenant avec une roue de 66, faisant corps avec le treuil.

On aura, en faisant abstraction du signe de la raison,

ai bisinl ifîr trots ouDOHivres k dèrelopper un elTort d'eu*

Qa dispott Tbfùfêff de raoes deatèes de minière i potii «alMié lou In engrenages ilans b Irans- Ubet m en dehors : en opérant ainsi, on Ib dièffaoeBCat des poids bibles, et réduin h TUÊÊb ■KUMÏnnnrHf des poids plus lourds.

370. Soit ABC un triangle ronné par trois cAtès ariicaUs CD A , t-n B et en C ; chaque cdlè fiX boUîcilé par une force connue, savoir : le cAlé ABparla >v^^,^-7\ y 1 forcer, lecôiéBCparlafort^eF',

*P^(Ox^ / le côté AC par la force P. U

triangle étanlen équilibre sous l'action de ces forces, leurs direclioDs cF, oF', h\' concourait en un même point 0, et cbcune des forces est proportiounelle au sinus de l'angle formé par les direcIJons des deui aulres. On demande de déterminer les allions mutuelles des cùtés dans les arlif^ulatiofis '"** A,B,C.

Un côté quelconque AB est eu équilibre sous l'acUoD de U

ARTICVLES. sas

force F, appliquée en c, et des réactions dévcloppces aux extréinili'3 A et B. Donc les directions de ces ri'actions concourent en un môme point y sur la direction cF. De nii^me, les rùaclions des articulations A et C sur le côté AC, se coupent en lin point p de la direction bf, et les réactions des articulations C et B sur le côté BC se coupent en un point a de la direction de sF'. Les réactions des articulations étant d'ailleurs égales et contraires deux à deux, la recherche des points a, &, Y revient à faire passer par les trois points donnés A, B, C, les cûlés d'un triangle x^t dont les sommets a, 0, -; se trouvent respectivement sur les trois droites données Oa,

Ofr, Oc, concourantes en un point 0.

On sait (g 513) comment on peut résoudre géométriquc-

ment ce problème.

Les composantes p et f déduites de cette construction

seront nécessairement égales. Car prenons les moments des

forces par rapport au point a; l'équilibre ayant lieu, il

Tiendra :

!l.F-|-ll.F''-f B^-(-M.Î = 0.

Les moments des autres forces, F', v, r, u, s, sont nuls, puisqu'elles passent par le point a. Or

puisque les forces F, F', F" se font équilibre par hypothèse. Donc

ce qui exige, puisque les forces p et q ont une même direction Py» qu'elles soient égales et contraires.