DB GRAVITE

Appliquée au triangle rectangle, la conslruction fait retrouver le milieu de l'hypoléiiuse pour centre du cercle circonscrit.

Ces exemples montrent qu'on peut être amené à considérer en statique des poids négatifs, ou des masses négatives. Si, par exemple, on place aux sommets d'un triangle ABC des poids proportionnels au\ eûtes opposés, mais en prenant négativement un de ces côtifs, le centi-e de gravité général sera le centre du cercle ex-inscrit au triangle, qui touctie le cùté. pris n^^gativement et tes prolongements des c6tés positifs.

386. Les mêmes recherches peuvent âtre étendues au tétraèdre dans l'espace. On peut chercher quels poids il faut placer aux quatre sommets d'un tétraèdre pour que le centre de gravité soit en un point donné. Si les masses sont égales, leur centre de gi-avilé coïncide avec celui du tétraèdre considère comme un solide homogène. Pour que le centre de gravité des quatre poids tombe au centre de la sphère inscrite, il faut et il sufût que les quatre poids soient respectivement proportionnels ou égaux aux aires des faces opposées. Car si l'on appelle A, Q, C, D les poids placés aux points de même Qom, r le rajon de la sphère inscrite et h, h', h", h!" les quatre hauteurs, le théorème des moments, pris sucessivement rapport aux quatre faces, donne les égalités

auxquelles on satisfait en posant

A', B', C, D', désignant les aires des faces opposées aux angles solides A, 6, C, D.

Si l'on prend négativement un des poids, le poids A par exemple, on aura pour centre de gravité général le centre de la sphère ex-inscrite qui touche la face A' et les trois autres faces prolongées. Comme on peut prendre négativement les

iSBv CSRfRE

^piatte pmds meeemmoimit on obtient ^pôlre splérear a* inscrites tondant respeetiTemant ckacane des foalre fines, rt les prolonganents des trois autres. ' On peut prendre encore négefiveaaent dein poids sur ^atre, ce qui pwt se faire de six œaniAres, pmsqu^ y a six .combinaisons de quatre olgets deux à deux. Ifaas ces six manières se groupent deux à deux en hypottièses idaitiques. En ^(^ dmx eomlrâaisons qui ne diffomt que par le dian- > gement de signes des quatre poids ytà la composaott, ne sont pae distinctes l'une de Vautre, et s'échangent Tune dans Tautre ai fiiisant une convaitim oon?enable sur le signe des moments. Par conséquent» les six combinaisons obtennes en iprenant négatÎTemttiit deux des poids sur quatre se lédmaent ^ réalité à aK>itié, et ne donnent que trois sphères nooirelles ex4nscrites^ tangwtes aux quatre &ces pridongèea.

La combinaison qui condstérait à &ire n^tilSi tnis poids sur quatre» est identique à celte qui ecmside à prendre négativement un sràl poidsi les autres <Mant regardés cmaome positifs, et ne fait rien eonnattre de nouveau. .

En résumé, la recherche des cmtres de gravité des poids

di A', db B', di C, di IK,

placés respectivement aux sommets

du tétraèdre, fait connaître huit sphères tangentes à la fois aux plans des quatre faces, et montre qu'il n'y en a pas plus de huit.

387. Les quatre hauteurs d'un tétraèdre ne concourent pas ^n général en un même point. Pour s'en assurer, il suffit de considérer un angle dièdre formé de deux plans P et Q qui se coupent suivant une droite (a). Si l'on prend au hasard deux points A et B, l'un dans le plan P, l'autre dans le plan 0, et •que de ces points on abaisse sur l'autre plan les perpendicu-

DE GHAVITË. 819

"nîres Ax, B3, ces deux droili!S se croiseront en général dans l'espace sans se rencontrer. Or elles Tormenl deux des hauteurs de tout tétraèdre ayant deux de ses sommets aux points A et B, les deux autres étant situés comme on voudra sur la droite (a), intersection des plans P et Q.

sua LA MÉTHODE GBAPlIlQtTE rOUR LA BÉTERMI^fATIOS DU CENTRE BE GRAVITÉ D'iiJSË AIRB PLAH6. (§ 20j).

588. On trouvera dans les comptes rendus de l'Association française pour l'avancement des sciences. Congrès de Lille, année 1874. p. 1193, une méthode graphique qui permet de ramener à la quadrature d'aires planes, par des constructions très simples, la recherche d'une intégrale double de la forme

// r- s' didy.

étendue à Ions les éléments superficiels compris dans un contour donné ; x et 1/ sont des coordonnées reclangulaires, et m et n des exposants entiers, positifs ou négatifs, mais non pas tous deux égaux à — 1.

ËoufLiBRE d'un polyèdre (§§ 231 et 232).

389. On a démontré dans tes §§ 231 et 232 qu'un polyèdre soumis à des forces normales à ses faces, proportionnelles aux faces, et appliquées en leurs centres de gravité, est en équilibre. M. Lalanne a fait connaître en 1877 une démonstration directe de celte proposition.

Soit A une face du polyèdre, a son centre de gravité, F la force normale appliquée en a et proportionnelle k A : nous supposerons la force dirigée vers l'inlérieur du polyèdre. Prenons trois axes rectangulaires, et décomposons la force F en

ÊQL'IUBIIE D'DIt POLlÈDRCj

.ges troU eon(>eiuite» X X. Z puidUte à es» trà» wn jf'an^ de F «veo Vjob OX mI égal àiui^ da lu {mb A i*ee le pluiZOT. Fngeton le polyftdre Mirw|ten; k beeAs*T projetten saiwat im pelygou A', 4t le atain de ^fitè« de U foee A ton pour pnjectioa le oeatiB de^snvilè «^ du |Mty- ^me A'. La compoeante X peut Mre enuidArée comme a^tÛquée en ca point. Opérant de même pour tantes ka &co8 eomi^àaea d'nn mtaie cAté da «ntovra^antttda polyèdre projeté Bor le plan XOZ, <m est amené i jwmpe^ tonlea les forces X correspondantes, appliquées anx ptrints i^, al priK poiiionnellea aux aires des polygtHMs A', d<mt ces points ^ ■OBt les centres ié gravilë ; la rèaattonta R est popartnondle , A ta {vojecUmi dn contour apparaît total, ^ appSqnfteattCEatre de frarité de ce contour projeté sor le plu TOC. La même •eomporîtfon peut se faire pour las liKésdn pdjèdve ntoéeade /l'autre côté dn contour apparent. etdleeimdidtAaiieréstdtante — R, égala et «mtraire k R, et «j^iqiiée m outre de gravité de la {vojecUon totale. Donc las forcée X ap^iqnées à toutes les bces se font équilibre.

Il en est dé même sëparénHintpoar r^isemble des fimea Tt «t pour l'ensemble des forces Z; par suite l'équililire est assuré pour l'ensemble des Forces F.

Cette démonstration a t'avantage d'être rapide, et de ne pas exiger que l'on considère à part l'équilibre du tétraèdre. Toutefois elle suppose que le polyèdre est convcie ; autrement elle perd un peu de son évidence. Admise du reste pour un polyèdre convexe, la proposition s'étend sans difSculté à un polyèdre, ou même à un solide de. forme quelconque.

HOUTENGHT FEBHAAEHT d'uK 7B. HOMOGÈHI.

390. Par mouvemenl permanent (fun y!/, nous entendons le mouvement d'un fil qui glisse sans changer de forme dans sa propre direction, chaque élément da venant prendre la place

NOIIVEHENT PER1IA^E^T Dl'N FIL G31

de l'élément égal qui y fait suite. Nous supposerons qui le fil soit homogène, c'est-à-dire de poids constant par unilé de longueur, et qu'il soit soumis sur chaque éloinonl ds à une force ¥ds, du môme ordre de grandeur que l"él6meiit luiniënic ; en outie que les forces F soient connues en grandeur et en direction pour tous les points de la courbe continue dessinée par le fil.

Cela posé, nous allons démonlrer que la forme d'équilibre du lit en repos sous l'aclion des

f forces F, ronvient aussi au mouve-

I ment du til dans sa propre direction, avec une vitesse v conslanle.

Pour fixer les idées, nous supposerons t]ue le fil dessine une courbe rernièc AB, à l;i façon d'un cable télu-dynamique. Celle courbe

I étant, par hypothèse, la courbe d'équilibre du fil sous l'âetion des forces Vds qui sont appliquées à chaque élément, imaginons un déplacement virtuel du til le long de sa propre direction, chaque élé- Fig. sti.

ment fi8 = MM' prenant la place de

l'élément suivant M'M". L'équilibre ayant Heu, la somme des travaux virtuels des forces est nulle, et, puisque le dépla-

' cernent 3s est commun ii tous les points, on a l'équation

|t étant l'angle de la force Fda avec la direction MM' du déplacement, et la somme S étant étendue à tout Tensemble du fil. Dans le mouvement permanent tel qu'il a élé défini, chaque élément MM' prend dans le temps dt la place de l'élément

ê-'al M'M"; la vitesse 0=^ est donc la même a l'inslunt ai

t pour tous les points du iîL ; je dis de plus qu'elle est cons-

tante, is*est4Hdire qo'dle est la mtaie à répoqoe l et à l'^o* qnei-Htt.

Lethteème^ fwoes lAtea» ^'ob étdriin en djMuqqe^ dfoumtare immédiatement eette propodtiim. En eflGet sohrons le fil en moofement pendant rintertalte de tanps dt. Letrairail r6el des finrces F dans œ monYement est idinrtiqiie an trataii tiriœl que nous considërions tout à tbeùst^M. k'ei* prime par le fttoduit du chemin de par la somme dg6* brique Z F eosj&dâ des composantes tangentieiles des tarées. Le traTail étant nul, la somme des fixrces vîtes lesto eonsMnte. U en estde même par conséquent de k tttesse #, quiest oommune à tous les pointe. *

Ainm la vitesse v reste constenfo à toute époque^ ôe qui revient à dire que te mouvement pennaéent d'An fil est en même temps un mouvraient uniforme.