ADDITIONS

son LA courosiTiox hes forces.

579. Il n'esl pas ïmitile de nionlrcr que la règle du parallélogramme des forces peut se déduire du principe de l'équilibre du levier, qui a été longtemps, comme on l'a vu, la base de la statique (§ 267). Commençons par établir le principe lui-môme, sans rien emprunter à la théorie de la composition des forces.

Soit \]i une barre rigide, que nous supposerons uniformément chargée de poids, h raison de p unités de poids par unité de Ion- p

gucur. Si cette barre est libre lians î

l'espace, on pouri-a évidemment la

maintenir en équilibre en en fiiant le ;; 5 S

point milieu 0; la barre restera alors ^ ^^

immobile sous l'action des poussées symétriques qu'elle subit de part et d'autre de ce point (ixe. On tient donc en équilibre le poids total pxAB qui pèse sur la barre, en appliquant au milieu 0, en sens contraire de la pesanteur, une force unique F, et cette force doit être égale au poids total; car on peut regarder comme un axiome, ou au moins comme un fait d'expérience, que le poids toi (il d'un sysiéme matériel ne change pas quand on ne fait que grouper d'une autre manière les parties qui le composent. Ici nous rassemblons pour ainsi dire au point 0 toute

GOXPOSmOB

Soit AOB un le^er eondè, mobile autour du iM>int 0, et sot Hâté aux points A et B par deux forcer P et Q, normales aux deux bras OA^ OB, ces deux forces étant situées dans le plan jde Tanj^ AOB. On demande la condition d*équilibre.

FrdongeoDS AO ju8^*ai C, à une distance OC =0B; au

point C, iuTariablement lié au levier t appliquons deux forces (y et Q*, égales et opposées, normales à OC, situées dans le plan de la figure, et enfin égales à Q. Les deux forces ^les Q et Q" ont un point eommùn I, qui apparlioit à la bissectrice commune aux angles BOC et OIQ'- On peut supposa les forces iqppliqaéesettcepmntl; elles s'y composent en une force unique, qui, «Tertnde la symétrie, est dirigée suivant cette droite 01. Elle charge donc directement le point fixe 0, et ne contribue pas à modifier les conditions d'éqîdlibredusystéme. H reste à s'assiuer de l'équilibre des finrces Prt Q^ appliquées au leviar droit AC, ce qui ramène à l'équation des momaits

rig.sML

PXA0 = Q"X0C.

pxâo = qxob.

puisque Q est égal à Q* et OC à OB, d'après la construction de la figure. Donc Tèquilibre des P et Q s'exprime encore par Téquation des moments, comme si les forces étaient parallèles.

38*2. Arrivons enfin à la démonstration du parallélogramme des foires.

Soient P = OA, Q = OB deux forces appliquées en un même point G, faisant partie d*un système invariable (fig. 367). Prenons le milieu I de la droite AB qui joint les extrémités des

forces P^et Q. Je dis qu'en fixant ce point les deux forces P et (Jseronl tenues en équilibre.

Abaissons en effet du point I sur les direcliuus des l'orccs I' et 0 les perpendiculaires IK et IL, et considérons le levier coudi' KIL, mobile aulonr du point 1.

et sollicité en K et en L par les l'orces r cl Q. La condition d'équilibre sera

ou bien

OA X IK = OBxlL.

égalité évidente, car chacun des produits indiqués mesure le double de la surface des triangles AOl, BOI.qui son! équivalents, puisqu'ils ont des bases égales Al = lit, et pour hau- "

leur commune la distance du point 0 à ia droite Ail. Le point 1 est donc situé sur ta résultante dos forces i' et 0. AppelonsRla grandeur encore inconnue de cette résultante^ appliquons au point 0, dans le prolongement OC de la droite 01, une force ÛC = R, qui tiendra en équilibre les deux forces P et Q. Les trois forces P, Q, R se faisant èquilibi'e, cliacnne est égale et contraire îi la iL'siiItantc des deux autres, et par suite, en y appliquant la remarque qui vient d'être démontrée, la force P passe par le point 1', milieu de la droite BC, et la force Q par le point 1°, milieu de la droite AC. Donc en6n les trois forces P, Q. B ont pour directions tes médianes Ai', Bl", Cl, du triangle ABC qu*on obtient en joignant leurs extrémités. 11 en résulte que R=;OC est double de 0!. Si donc on prolonge 01 d'une quantité ID^Ui, la droite OQ représentera en gitindeur et en direction la i-ésullante des forces OA = P et OB=(J. La construction revient a achever le parallélogramme Q\l>B, st è mener la diagonale OD. La démonstration déduit, comme on le voit, la règle du parallélogramme des forces du théorème du g 28, cas particulier du théorème du g 218,

m GOIPOSITION

Uiéorème qui se taltàcbe à la condition d*éqmlibre du Içvier. .

5$3. Bemarque. Considérons un point matériel M, sollicité 4paif H forces données en grandeur et en direction MF, MF% MF'. . . On demande la résultante BfR de toutes ces forces. Sans rien connaître sur les régies de la composition des forcest on pourrait arriver à découvrir cette règle à Taide des observations suivantes.

Par le point M menons trois axos arbitraires, MX, MY, MZ, et rapportons à ces trois axes les extrémités F, F, F'..., des droites données, ainsi que l'extrémité R de la droite cherchée. Soient

9, y, s, les eoordCMmêes do point F,

^ X, T, Z ceUes da point R.

Les quantités inconnues X, T, Z devront être exprimées par des fonctions des données ^i y, «i â/, y', a^, ^»!^> s',.... lesquelles fonctions devront avoir certains caractères qui permettent d'en deviner la forme :

1* Elles s'annulent lorsque les quantités a;, y, 2, a/, y',2',.... s'annulent toutes à la fois ;

2** Si l'on a à la fois 0?'= 0, t/=Oy %'=o, of=Oj !/' = o, ^"=0,... pourn — 1 forces, on a aussi X=a:, Y=i/, Z=2;

3** Toutes les forces devant entrer de la même manière dans la composition de la résultante, X, Y, Z sont des fonctions symétriques de ar, t/, 2, x\ y\ 2',...;

4° Les fonctions X, Y, Z doivent être telles, qu'un changent ment quelconque des axes, sans changement des composantes, n'entraîne aucun changement dans la résultante R;

5*^ On peut ajouter que si F, F',... augmentent ou diminuent dans un certain rapport, sans changement de directions, R augmente ou diminue dans le môme rapport.

11 y a sans doute une infinité de manières de satisfaire à ces conditions ; mais parmi ces manières la plus simple consiste

h eTpnmer X, Y, Z par la somme algébrique des coordonnées de même nom relatives aux composantes, c"est-ii-dire ù poser

ce qui revient è dire que la résultante R est la aomme gcomâ- Iriquei^ *27)des composantes F, F' On retrouve aussi directement sous celte formelc tliéorèmc du § 219.

PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DU LIED DES CENTRES DE GRiVtTfi DES ARCS DE CERCLE (^ 184 ET BDIVAnTS).

384. La méthode indiquée § ]86, 1°, pour passer du centre de gravité G de l'arc AB au contre de gravité G' d'un arc AI moitié moindre (fig. i65), permet de construire, avec autant d*approiimatron qu'on le voudra.

ua triangle équivalent à un secteur circulaire , et une droite égale en longueur à un arc de cercle.

1' Soit G le centre de gravité de l'arc AB, dont le centre est en 0. Du point 0 comme centre avec f vm " *

OG pour rayon, décrivons un arc

de cercle GB. Je dis que le secteur OGll est équivalent au triangle OGA.

En effet, soit OA = a, angle GOA = 9. On aura

Donc le secteur OGll a pour mesure

|M>cM&i#a>]«^X«&Bt»{.

CiOB» mt pourra donc 60A, CB èfevant en 06^ JBifA h iaiooiriro.ai G^ â^ec arimÇr «w fapadBeiilaiie sur 06\ 6^ OTBC h tianctriee OC, et amâ G« C, 6^«... famaot les centres de AB, AI, ATt... etabootusant par As ceabe de gntilé de l'are infinim^t CB ce peint. Lofs^'on apjpoche de OC. mt dHBfcat pas aeûsiMeniefit da d'oïl aeal ceop la comtroction are de carde dn peinl 0 cMinie centre avec 0C|. pear rajM. Gel are ae canfHid aaoâblement avecla perpodcdaire éiefée à TeitrteHé de 06^ et fl bit connailre le peint A svee me ^yronmation qn'on pent pousser aussi laâa fUi*mi le waidra.

¥ La même construction appliquée à Tare 06, égal au rayon Ok, (ait connailre le déYeloppement OÂ de cet arc sur sa tangoite à rextrémité 0. H est aisé de démontrer directement cette construction par la géométrie élémentaire.

ce5tbe as outtté de masses placées aux sommets

d'gii triangle.

583. Si Ton place des poids égaux aux sommets d'un triangle ÂBC, le centre de gravité de ces poids coïncide avec le centre de gravité du triangle lui-même, c'est-à-dire avec le point commun aux trois médianes (§ 198). Si les poids placés aux sommets A, B, C sont proportionnels aux côtés opposés a, 6, Cf le centre de gravité est au point de concours

DE GHATITS. 615

des trois bissectrices, c'est-à-dirc au centre du cercle inscrit dans le triangle (g 2'24|.

On peut se demander quels poids il faudrait placer aux sommets A, h, C, pour amener leur centre de gravité en d'autres points, tels que le point de concours des trois hauteurs, ou le centre du cercle circonscrit.

1' Soient A, B, C les poids cherchés, dont le centre de gravilè est , au point G où se coupent les hauteurs Aai, Bp. Cy-

Si l'on compose les poids B et C, In nïsullante devra être appliquée au point *; car il faut qu'en la composant avec le poids A, on obtienne le point G pour le centre de gravité général. On a donc l'équation

Fig. W).

Mais les segments Ba, Ca sont respectivement égaux à cCosB, b Cosl^, a, b. c désignant ici les cùtés, et A, B, C les angles du triangle donné.

Donc

B bCotC Sin B Co» c TangB C — (■ Cw B^ Sin'C ^ Co« B ~ r«ij C

On aurait de même

^ Tang C Tao(! A '

Tang A Tiing'B'

n suffit par cons,6qucnl de prendre les poids A, B. C proportionnels aux tangentes Irigonomctriqucs des angles du jriangle.

Si l'un des angles A est droit, la tangente est infinie; le centre de gravité coïncide avec le sommet de l'angle droit, les

«dmi aitfres pmds. démit èbre jÉégligis iis4hà eu pi»& infini tang A.

* Si rîiii des ang^ kml 4>bta8, le poids ecKrreqmidnit est inégatif. La pesanteur doit agir a» pràrt A en ama iMilitire dà sens .dans lequel eUe agit aux pmnts Bel G.

3* Oiercboiis ensuite quels poids ûtmi placer eftlt tif C, pour que le centre de grairité sokau cmtia 0 du «ende drconsciit au triangle.

Ce point est le point de concours dea Imuleiiradmiriani^

8IJ[, qui a pour SMuneta laa miiieQZ des côtés du trian|^ deonéi al qui a 4es mêmes angtes quieéeiriaiii^.

Par ttmséquent il 8a0ttt^ peur amen^ le centre de grafitt en 0, da pbeer au milieu de chaque eMé ua poids égal à là tangente trigonoméirique de Tangle opposii tang à en Kf tang B en L, tangCeuM. AppsloQS â» B et G des poids a^liqués sus pmnta A» B, € et tels que fe centre de granté smt aussi en 0. * n suffira pour les troufa* de décomposer chacun des poids placés en K, L, M en deux poids égaux, appliqués aux extrémités du côté correspondant. On aura en définitive, en réunissant les deux poids appliqués en un même point.

ng. sis.

= 2 (Tang B -f TangC), = 2 (Tang C + Tang A).

A B Cs=:{TangA + TaDgB).

On peut supprimer le coefficient -^ ^puisqu'on ne cherche ici

que des rapports, et on voit qu'il suffit de placer aux sommets des poids proportionnels aux sommes des tangentes trigonométriques des deux angles opposés.