THÉORÈME

II. Supposons toujours qu'il n'y ait que deux forces données F et F\ mais qu'au lieu de prendre les moments par rapport à un point de leur plan, on prenne les moments par rapport à une droite XY quelconque. La proposition sera encore vraie.

Projetons les forces données, F et F', et leur résultante R sur un plan normal à XY. Nous obtiendrons sur ce plan deux forces /"et f , et une troisième force r, projection de R; le parallélogramme construit sur F et F\ dont R est la diagonale, a pour projection sur ce plan un parallélogramme, qui a pour côtes f et /', et pour diagonale r. Donc r est la résultante de /* et f. Ceci suppose les forces f ei f concourantes. Si elles sont parallèles, la force R leur sera aussi parallèle et sera égale à leur somme, et elle partagera la dislance de leurs points d'application en deux segments qui seront entre eux dans le

F rapport ^,. Mais la projection de la figure sur le plan normal

à XY donnera trois forces f, f\ r, proportionnelles à F, P, R: la force r sera la somme des forces f et /^, comme la force R est la somme des forces F et F', et le point d'application de la force divisera la droite de jonction des points d'application projetés en deux segments, qui seront entre eux dans le rapport

de ^;, c'est-à>dire de -77. En résumé, r est dans tous les cas

la résultante de fel f*. Le théorème des moments est démontré pour ces forces /*, f , r. Or les moments des forces /*, /^, r, par rapport au pied de Taxe XY, sont, par définition, les moments des forces F, F^ R, par rapport à cet axe. Donc enfin le théorème des moments est également démontré pour le cas où Ton prend les moments par rapport à un axe, en admettant toujours deux forces, soit parallèles, soit concourantes.

m. Il est aisé d étendre le théorème à autant de forces données qu'on voudra, pourvu qu'elles soient toutes parallèles, ou toutes concourantes en un même point.

Soient F^ F,, F,, ... F«, n forces satisfaisant à Tune ou à

DES UOllESTS. es

^BS conditions. Pour trouver leur résullanle, on peut composer F, et F,, ce qui donnera une résultante R, ; puis composer R, avec F^, ce qui donnera une résultante R, ; composer ensuite R, avec F,, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait composé la dernière force F, avec la dernière résuUante partielle R^,, ce qui fournira la résultante générale R. Dans cliaquc opération, on aura à composer deux foices, soit parallèles, soit concourantes, et, par suite, on pourra appliquer le théorème dis moments, ce qui donne une éqnalion. Nous aurons donc à la fois

XiiF. + Hif B,-H^llj,