Supposons d'abord qu'il n'y ait que deux forces à compo

Prenons ■

DES MOMENTS. Bt

Des seront comprises dans un môme plan, puisqu'on les suppose ou parallèles ou concourantes.

menis de ces forces par rnpporl à un point 0 de leur plan, ou par rapport à un axe normal à ce plan et passant par ce point 0.

1" Si les forces F et F' sont parallèles, abaissons du point 0 une perpendiculaire commune OAB sur leur direction ; nous pourrons admettre que A et B sont les points d'applicat on des forces F et P.

La résultante R sera égale h F+F', et sera appliquée en un p<ûnt I de la droite AB tel, qu'on ait l'égalité

Fig. tl.

Donc

RxAl^F'xAD.

Aux deux membres de cette égalité ajoutons (F + F') x OA ; il viendra

rxai-h;f+F')xoa = (f+F')xOA-i-F'xAD.

ou bien

BXlAl-hOA] = FxOA-t-F'X(OA + AD),

OU enfin

nxOl=FxOA+r'xoii,

équation qui montre que le moment, RxOI, de la résultante par rapport au point 0 est égal à la somme des moments FxOA.F'xOBdes composantes par rapport au même point. La cinématique démontre immédiatement celle équation. Regardons F et F' comme les mesures de rotations qui s'efl'cctuent simultanément dans le plan du papier autour des points A et B. la résultante de ces deux rotations (I, g ICo) est une rotation égale h R, autour du point I, et l'équation des moments

03 THÊORÈVE

exprime que le chemin RxOI, décrit pai' le point 0 de la firoitc AB en vertu de la rotation R, est la somme des chemins FxOA, F'xOB, décrits séparément en vertu des rotations composantes F et F'.

On vérifierait de même le théorème pour deux forces parallèles dirigées en sens contraires. L'équation finale est la même, pourvu que l'on donne des signes convenables aux moments. On pourrait aussi montrer que, grâce à remploi des signes, le théorème s'applique au cas où le centre des moments est compris entre les deux forces.

On peut conclure de là que la surface du triangle ORI est la somme (algébrique) des aires des triangles OAF, OBF'.

S"" Admettons que les forces ne soient pas parallèles. Soient AF et AF' deux forces concourantes. I^ résultante R est représentée en grandeur et en direction par la diagonale ARdu parallélogramme AFRF', et le théorème des moments revient à régalité

aire OAR = aire OAF -h aire OAF'.

Or les trois triangles OAR, OAF, OAF' ont une oase commune OA, et sont entre eux comme leurs hauteurs, c'est-àdire comme les distances RK, FH, F'H' des points R, F et F' ù cette base. Par le point F, menons FL parallèle à OA; la figure IIKLFsera un rectangle, dans lequel Fil = KL. De plus , les deux triangles FLR, AU'F' sont rectangles en L et en ir, ils ont Fangle FRL égal à l'angle AFil', comme compris entre cotés parallèles chacun à chacun ; enfin, ils ont des hypoténuses égales FR, AF', comme côtés opposés d'un parallélogramme. Le coté LR est égal au côté Fir, et par suite

RK = FU -+- ni'.

Donc enfin le triangle OAR est la somme des deux autres, el le théorème est démontré.

s perpendiculaires

DES IIOHEMS. BS

Cetlii^orèmeporie en slatique le nom de théorème deVarigiion.

Le Ihéoréme des moments pour deux forces parallèles rentre comme cas particulier dans la proposition relative à deux forces concourantes.

Soient en effet AF, A'F' deux forces appliquées aux points A et A', et concourantes en un certain point; soit U leur résultante, qu'o[i peut supposer appliquée en un point A' de sa direction. D'un point quelconque 0 pris dans le plan de la figure, abaissons d W, OP', OP" sur les <lireclions des trois forces; nous aurons «n vertu du thcorème

B>:OP"=txOP + F'xOP'.

. H est de plus égale en grandeur à la diagonale du parallé- HriWanitne dont les cftlés sont les forces ¥ et F', Or imagi- ^^Bilque le point de concours des forces F et F' s'éloigne in- ^HPaHment. A la limite, les trois forces F, F' et tt seront parallèles, et la diagonale R du parallélogramme construit sur ¥ el F' se changera en la somme, F -!- F', des deux forces données. L'équation des moments élant toujours traie, quelque éloigné que soit le point de concours des forces, est encore vraie à la limite, rjuand les forces deviennent parallèles, et peut servir à fixer la position vraie de la rèsullanle F + F'.

La cinématique conduit encore directement h l'équation des moments pour les forces concourantes. Considérons les forces F, F' et R comme dos rotations qui s'effectuent autour des directions AF,A'K', A°R ; la relation R sera la résultante des deux relations F et F'. Tout point du plan de la figure reçoit de chacune de ces, rotations un déplacement normal âce plan, et, par suite, le déptacemeni dû à la rotation R est la somme algébrique des déplacements dus à F et à F'. L'équation dos moments exprime celte égalité (I, g 1 69).