CENTRE DES FORCES PARALLÈLES
parallélisme, et en conservant les rapports de leurs grandeurs. Soient X, Y, Z les coordonnées de ce point. Faisons tourner toutes les forces de manière à les rendre parallèles à Taxe OY, et prenons les moments par rapport à Taxe Oî. Les forces se projetteront en vraie grandeur sur le plan YOZ, normal à Taxe des moments, et les distances des forces à cet axe seront égales respectivement à %^ pour la première, à %^ pour
la seconde, à 2» pour la n^^^. La somme algébrique des
moments est donc égale à
On sait par le théorème des moments qu'elle est égale au moment de la résultante, c'est-à-dire au produit
Donc
- Ft»i-f-F«î«-f-.>.-f-F«a»ZFg F,-»-F,-|-...-»-F« "XF'
équation que nous avions trouvée (g 34) par une méthode beaucoup moins rapide.
Nous obtiendrions la même équation en rendant les forces parallèles à Taxe OX, et en prenant les moments par rapport à l'axe OY.
L'analogie conduit à poser de même :
,F|X|-hFtX,^-...-hK«x« 2fx F4-|-F,-|-...-hF« ~2F*
Y Fiyj + Fi^i -H ■ » . -t- F«y, iFy Fi + F,4- ...-f-F« 2F*
49. Les forces parallèles t\, F,,... F,, peuvent recevoir des signes, et par suite leur somme algébrique ZF peut être nulle.
Admettons qu'on ait ZF=0. Si Ton a en même temps lFx=0, 2Fy =0, 2F»=0, les valeurs de X, Y, Z seront indéterminées. Si, au contraire, quelques-unes des sommes ZFx, SFi/, l¥z ne sont pas nulles, quelques-unes des valeurs de X, Y, Z sont infinies.
ÏOUESTS PAU IlAPPOriT AUX ASES. 67
Le premier cas indique que les forces F,, F, F„ se foni
équililirc. Le second, qu'elles se réduisent û un couple, Icqm peut d'ailleurs âlrc nul pour certaines orienlalions des foret F. Ces dolails seront développés plus loin (g 72).
50. Cherchons en second lieu les moments par roppori aux trois axes OX, OY, OZ, d'une force donnée F, appliquée en un point M, qui est défini par ses coordonnées rectangulaires X, y, ».
Décomposons la force F au point M en ses trois composanles MX, MY, MZ. Le moment de la force F par rapport à un axe quelconque est égal n la somme algébrique des moments de SCS composantes.
Occupons-nous d'abord des momcnls par rapport à OZ. Le moment de la composante Z, qui est parallèle ;i l'axe, est égal à zéro. Les deux aulrcs composantes se projettent en vraie gi-andeur en mX, tnY sur le plan XOY.normalàOZ.Ladistancede la composante tnY à l'axe OZ, ou au point 0, est égale à Oii.\ ou i m^', ou enlin à x; la distance de la composante mX au même ^ point est m^j^' ou jf ; les moments sont donc égaux, aux signes près, i \x et à Xj ; quant aux signes, il fau I observer que, si X et t; sont positifs, comme le suppose la
figure, X lend a faire tourner son point d'applicaiion m autour du point 0, dans le sens qui amènerait l'axe OY vers l'axe OX, c'esl-à-dire dans le sens négatif; le moment de X est donc égal i — Xy; l'autre moment est positif, et la somme algébrique des moments est égale à
On démonirerait de même que la somme des moments par rapport h OX est
NONEKT DmE FuRCB
i\ par rapport à OY,
Xx— Zx.
On a donc les trois formules
MaxFrrZy— \« = L, U«yF = Xs — ZxsU, ll«F = Yx-Xy=N,
en appelant L, M, N, pour abréger, les moments de la Torce F par rapport aux trois axes.
Ces expressions portent avec elles leurs signes. On remarquera que le moment d*une force par rapport à un axe s'exprime par un déterminant. On a par exemple
ll«F = ly— Y»=
Les trois déterminants
représentent donc les moments de la force F autour des axes
oz OX OY.
51. Si Ton déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, si par exemple on transporte l'origine au point dont les coordonnces sont Ç, r<, Ç, on aura, en appelant x', jf', %' les nouvelles coordonnées du point d'applicalion de la force F,
Donc
Zy-Y3=Z(,-+.y')-Y(Ç-»-«-)=(Zn-Y;)-|-(Zy'-Y3').
Le déterminant Zt/' — \z' est le moment de la force F par rapport au nouvel axe OT; quant au déterminant Z13— Y{, c^esl le moment, par rapport à Tancien axe OX, de la force F transportée parallèlement à elle même à la nouvelle origine (K.
PAU RiPronT AUX AXES. 63
Tour passer des momenls suloiir d'un système d'axes rectangulaires BUS momenis autour d'axes pnndléles, il suffil de relranclier des premiers niomcnls les momenls par rapport aux iin ions axes, des forces Iransporlt-es parallèlement à elles-mêmes il la nouvelle origine.
52. Soit proposé , en troisième lieu, de chercher le moment de la force F par rapport à une droite OP, passant par l'origine. La direction de celte droite ÛP est détinie par les angles POX — a. POY=3,P0Z=:v, qu'elle fait avec les axes, ou, en projetant le point P en A, B, C sur les trois axes, par les cosinus de ces angles, savoi
"•?-ol
Les cosinus ont les signes des abscisses OA, OB, OC, et ils sont liés entre eux par la relation
C03«a+tOB'3-f c
Deux des angles étant donnés, le troisième cosinus s'en déduit, au signe prés, au moyen de celte équation.
Concevons un pian mené par le point 0, normalement à l'axe ÛP. Nous trouverons te moment cherché (g 45) en projetant sur ce plan l'aire du triangle qui a pour saminel le point 0, et pour base la force F, et nous avons vu (g 46) qu'il suffît pour cela de projeter sur l'axe OP une longueur 011, égale au moment de la force F par rapport au point 0, et prise sur une perpendiculaire au plan OMF.
Les moments L, M, N de la force F par rapport aux axes ne sont autre chose que les projections sur les axes decettelongueur OU; on peut donc regarder 011 comme la résullantc géométrique des trois composantes L, M, N, portées respectivement sur les axes à partir du point 0. La projection de la résultante OH sur la direction OP est la somme algébrique
70 TUEOaiB
des projections des composantes sur la même direction. Prenons sur Taxe OX une longueur OL=L, et projetons le point L en V sur OP. Nous aurons OL' = Lcosa; de même la projection sur OP du moment M, autour de l*axe OY, sera é^le à Mcos^, et la projection sur ON du moment N autour de Taxe OZ sera N cos y.
Donc enfin
UopF r= Loosa + Ucos/i + Ncosy.
La connaissance des moments par rapport à trois axes rectangulaires conduit donc immédiatement à la détermination du moment autour d'un axe quelconque passant par IV rigine.
TUÉORIE DES COUPLES.
