Cherclions comment s'opère cette variation. Pour cela

imaginons qu'après avoir déterminé la résultante R et le couple C en nous servant du point 0, nous voulions avoir la résultante et le couple pour un point 0', diflérent du premier. Il suffira de transporler la résultante R en ce point, ce qui donnera naissance à un nouveau couple (R, — R), qu'on aura à composer avec le couple C. Le couple change donc seul, comme nous Tavions déjà reconnu.

Le plan du couple résultant variant de position avec le point 0, où Ton transporte toutes les forces pour obtenir la résultante R, et la direction de la force R étant toujours la même, l'angle de la force R avec le plan du couple C est variable. Nous allons démontrer que le couple résultant est le plus petit possible quand cet angle est droit, c'est-à-dire quand Taxe du couple C est parallèle à la résultante R.

Il suffit de faire voir (fig. 58) que, si cette condition est remplie, tout déplacement du point 0, en dehors de la direction de la force OR, entraine un accroissement du couple C. Soit 0' le nouveau point choisi pour y transporter les forces.

Ey

Ya

Fig. h't

COUn.B IlESliLT.AST.

Abaissons CO perponiiiciilniic sur Oit ; nous pourrons regarder la force It comme appliijuée en ce point 0 pris sur sa direction, elle couple C cunime représenlé par ^^

son ase OC, porlé sur 011 h piirlir du m^me poinl. Au poinl 0', appliquons deux forces égales et parallèles à R, et en sens conlraire l'une de l'autre; / j ' nous substiluons ainsi à la force donnée une force R, /' j légale cl parallèle, appliquée en 0', et un couple i ^ (R, — R), dont le moment est R x 00', el dont on ; aura l'axe en prenant une quanlilé, OU, égale à ce ""' moment, sur la perpendiculaire élevée en 0 au '*'' ^ plan ROO*. Le nouveau couple résultant C' s^obLicndra donc en composant bu point 0 l'axe OC du couple primitif avec l'axe OH du couple (R, — R), ce qui donne un axe OC, diagonale du rectangle OCC'U : par suite, le nouveau eouple C a un moment pins grand que le couple C, el son axe fuit avec la direction de la résultante un angle différent de zéro.

De quelque cOté que l'on déplace le point 0 autour de la direction OR, on obtient donc un accroissement dans la grandeur du couple résullanl ; cet accroissement est le même pour un même écart 00', pris dans le plan normal à OR mené par le point 0.

Il n'exisic donc qu'une seule droite OR, tout le long de laquelle le plan du couple résultant soit normal à la résullanle, et c'est celle pour laquelle le couple résultant est minimum.

L'analogie que nous avons déjà fait pressentir entre la statique el b cinématique des corps solides se complète ici. En cffcl, loul déplacement élémentaire d'un corps solide a été ramené fi ta coexistence d'une rotation et d'une translation, et nous avons reconnu qu'on peut déterminer un axe de rotation unique, paralléiemenl auquel la translation s'opère; c'est l'aie du mouvement hélicoïdal du corps solide. La translation est alors minimum, la rotation restant toujours constante (i. ^ 160 et 161). De même, nous \enons de ramener les forces sollicitant le corps solide à une résultante It, qui cor-

f<S AIE CENTRAL

respond à la rolalion, et h un couple C, qui correspond i la translation ; puis nous avons reconnu l'existence d'une direolion unique, qui est à la fois la direction de la résultante, h direction de Taxe du couple résultant, et le lieu des points pour lesquels le couple résultant est le plus petit possible. Cette droite a été appelée par Poinsot Vaie central des moments ou des couples.

Enfin , la réduction de toutes les forces données à deux forces correspond à la décomposition du déplacement éléntentaire d'un corps solide en deux rotations simultanées (I, g 157).

64. Proposons-nous de trouver la position de Taxe central. Soit OR la résultante de translation, supposée appliquée au point 0, et OC Taxe du couple correspondant, qu'on peut mener aussi par le point 0. Décomposons le / couple OC en deux couples composants, ""V\ l'un OA, suivant la direction de la résul- M / \ tante R, l'autre OB, perpendiculaire à la Ib'"/©""""! résultante. Par le point G, menons une

droite OX, perpendiculaire au plan ROB, et sur cette droite, prenons, dans un sens qu'on définira tout à Theure, un point (K tel, que R X 00' soit égal au couple OB. Nous pouvons transporter au point 0' la ré- Fi- 50 suUnnte R, en appliquant en ce point deux

forces R et — R, égales, parallèles, et contraires Tune à Tautre. Par là nous donnons naissance à un couple (R, — R) dont le bras de levier est 00', et dont le moment, R X 00', est égal au moment du couple composant OB. Nous pouvons d'ailleurs preudre sur la droite OX la distance 00' dans un sens tel, que Taxe 06' du couple (R, — R) soit dirigé en sens contraire de OB, sur la droite perpendicula-re au plan ROO'. On ramène ainsi le système de la force OR et du couple C au système de la force C'A et des trois couples OB, OB', OA; les deux premiers couples, égaux et contraires, se détruisent, et il reste la résultante R

DES V011ENTS. SU

appliquée on 0', et le couple OA, dont l'axe est parallèle à la rL'sullanIc. La ilroile O'Û est donc l'axe cenlral des forces données.

L'axe central O'R une fois déterminé, si l'on Iransporle (ouïes les forces en un point quelconque 0, éloigné de cet axe d'une qiiantilé OCy ^^ /i, la résuUunle de translation corresponilanle OU reste la même en grandeur et en direction, mais l'axe du couple résultant pi end la direction OC dans le plan normal à OC Soil 11 = OA la valeur du couple résultant miniluum. La valeur, G, (Ju nouveau couple OC s'oMiendra en remarquant que le couple coraposan t AC est égal à R xOO'^R'i; donc

\a direction OC est d'ailleurs définie par l'angle COA = roaa

, et

tan6ï =