AIENT UNE RÉSULTANTE UNIQUE
de part et d'autre les termes communs et supprimant le factanr 2, on arriTe à Tëquation finale
Cest la condition cherchée.
On y parvient plus rapidement en observant que X', Y', T fooepart, L% M', N' de l'autre, sont proportionnels aux cosi- Ms des angles que les directions OR et OC font avec les axes, ie sorte que Tégalité LT -4- MT4- NT = 0 indique que FangleCOR est droit.
En se reportant au § 66, on verra par l'équation (5) que cdie condition réduit à zéro le couple minimum H, sauf le as où Ton aurait à la fois r = 0, ¥'=0, Z'=0, cas dont BMS allons nous occuper.
OOMHTIo:! rOCR QUE LES FORCES SB RÉDUISENT A UH COUPLE.
68. La résultante de translation est toujours la même, en ^que point qu'on transporte les forces pour les composer; fwr que les forces soient réductibles à un couple, il faut et il suffit donc que la résuUante R soit nulle, ce qui suppose à la feX' = 0, Y'=0, Z' = 0.
Daasce cas, l'équation
L'X'-firY'-fK'Z'=0
est satisfaite d'elle-même, de sorte qu'elle exprime à la fois b condition pour que les forces se réduisent à une force toiqae, ou à un couple unique ; et en effet le couple peut être issimilé à une force unique, d'intensité nulle, dont le point ftpplicalion serait infiniment éloigné.
DÉFC^rnON OE L* ÉQUIVALENCE DE DEUX SYSTÈMES DE FORCES.
69. Deux systèmes de forces (X, Y, Z) et (X^, Y^, ZJ, appliqtiês successivement à un solide, sont dits équivalents lorsque les forces qui composent chaque système sont réductibles à
90 SYSTÊIIKS DES FuACES EQUIVALENTS.
la même résultunle de translation et au même couple i-ésullant. Le caractère analytique de l'équivalence est donc défini par les six équations :
2(Zy-Y5)=ï(Z.y.-Y.»J, 2(X3-Z«)=2tX,3,-Z.x,), ï(Yx-Xy)=2(Y.x.-X,3f.).
Si CCS équations sont satisfaites pour un système d'axes coordonnés rectangulaires, elles sont satisfaites pour tout autre système.
Si l'on applique au solide le premier système de forces, et les forces du second système changées toutes de sens, le système de forces résultant sera réductible à une résultante nulle et à un couple résultant nul ; de sorte que le solide sera en équilibre, ainsi que nous le verrons plus loin. Réciproquement, si un système do forces appliqué h un solide est en é|uilibre, il y a équivalence entre le système formé d'une partie des forces données et le système obtenu en changeant le sens de toutes les autres.
Les forces entrent fréquemment dans les équations de li mécanique par les sommes de leurs projections sur des axes fixes, ou par les sommes de leurs moments par rapport à ces axes. Tant qu'il en est ainsi, on peut remplacer les forces reciies par des forces équivalentes^ lors même qu'elles ne sont pas appliquées à un système solide. L'équivalence est alors purement algébrique^ et n'implique en rien l'équilibre effectif ( ntre le premier groupe de forces et le second groupe changé (le sens.
PKOL'LÈyEi lAlVEftS.
70. Étant donné un polygone ABdDEt A, tracé dans un plan, on applique au sommet x\, dans la direction AB, une force proportionnelle à AU; au sommcl D, suivant BC, une force pro-
PBOniÈMES DIVEnS. V,
portionncUe à BC; au sommet C, suivant CD, une force proportionnelle à CD, et ainsi de suite, jusqu'au sommet P, mxjui'l on applic)Ufi suivant l'A une e
foice [>ropoi tionnelle à FA. On demande de réduire ces forces à une résultante et à un coupli'.
On peut choisir l'échelle qui sert à représenter les lorces par des
droites finies , de telle sorle que ' ■
AB, BC, .... FA soient les longueurs '*"
représentatives des forces appliquées suivant ces côtés.
La résultante de translation s'obtiendra en composant les forces diinnées, transportées en un même point, parallèlement h elles-mêmes. Choisissons pour ce point le point A. La résultante sera le dernier côté du polygone des forces construit à partir du point A ; or ce polygone n'est autre que le polygone donné, lequel se ferme de lui-môme. La résultante de translation est donc nulle, et par suite les forces se réduisent à un coople.
Le couple rî-sullant est situé dans le plan de la figure; son ase est perpendiculaire à ce plan. Pour avoir son moment, il suftit de prendre la somme des moments des forces par rapport à un point 0 quelconque du plan. De <e point, abaissons des perpendiculaires 01, 01', ... sur les cùtés. Le moment de la force AB par rapport au point 0 est le produit ABxOl, ou le double de l'aire du triangle OAB. Il en serait de même pour tous les autres Irianylcs OllC, OCD, .,., OFA. Faisant la somme de tous ces triangles, 0[i obtient l'aire du polygone. Le moment du couple résultant est donc représenté pîir le double de la surface du polygone donné.
On parviendrait au même résultat en prenant le point 0 en dehors du polygone ; les trianj^lcs extérieurs au polygone deiraient être pris négativement, et correspondraient à des moments négatifs.
Il résulte de là que si dans le même plan, ou dans deux plans parallèles formant un système solide, on applique, suivant
