DES FORCES PARALLÈLES
Fcosa, Fcoap, Fcosf seiotil les composantes delà force F, el h'S iiiomcnls s'obtiendront au moyen des formuk's L = ïiFcosïXî; — fcospxij^^cosjïFa — cos^sFi; tîf iniïine
>I = cos«EFj — coaySFj;, N=cospïFi — coaalFa;
les cosinus sortent des signes 2, parce qu'ils sont facleura communs à tous les termes compris sous ces signes.
Ces lormulcs donnent les valeurs de L, M, N, et font connaitrc le couple résultant.
On voit que le couple résultant est nul si l'on a à la fois lFr=0, 2Fy=0, iF2 = 0; alors l'équilibre des forces est assuré.
Si deux de ces sommes sont nulles, par exemp1i> les deux lircmières, on en déduit N^Û. Le couple résultant, ayant un moment nul par rapport à Taxe OZ, est situé dans un plan |)arulléle à cet axe.
Enfin, si une seule des sommes, ^Fj, est nulle, les expressions de L, M, N se simpUCent ; mais, en général, aucune ne se réduit a zéro.
2* Nous venons d'observer que les furces F se font équilibre sil'on a 2Fx = lFi/:=2F2=^0, avec 2F=:0. Mais 1 équilibre est également assuré si l'on a à la fois
cos/SFj — cosfïFï^O,
COSBÏFï— COSt2Fi=:0.
DU bien
osHSFx-
ii<EFj( = 0,
<loubIc équation qui définit la direction commune (a, &, f) h attribuer aux forces F pour qu'elles se fassent équilibic. On eu déduit ea effet
ïtj
~ v'tsi^^HïîtfF+TÏÏV'
103 THËORËHB
Dans ce cas particulier, les coordonnées du centre des forces parallèles sont infinies, mais le couple résultant est nul, dès que les forces F reçoivent la direction particulière définie par les angles a, ^t y-
THÉOllÈMLS hjù M. GIIA8LB8 «T DE M. IIÔDIDB.
73. De quelque manière qu'on réduise à deux toutes les forces d'un système^ le tétraèdre construit sur les droites qm représentent ces deux forces a un volume constant^.
Soient A et B les points d'application, AP, BQ les directions et les grandeurs des deux forces P et Q auxquelles on a réduit le système donné. Menons les droites AB, PB, AQ, PQ, qui
achèvent le tétraèdre APBQ. Nous pouvons considéfer ce tétraèdre comme ayant pour base le triangle PAB, et pour hauteur la distance du point Q au plan de la base. Par le point 6, menons BP', parallèle à AP; cette droite sera contenue dans le plan du triangle PAB. Soient 9 l'angle P'BQ des directions des deux forces, 6 l'angle PAB, et ^ l'angle que fait le plan P'BQ avec le plan PABP'. Soit AB = a la distance des points d'application des deux forces. La surface du triangle PAB a pour mesure ^ Px a sin ô. Du point Q, abaissons QQ' perpendiculaiie sur le plan des parallèles AP, BP', puis QP' perpendiculaire sur BP'. La droite Q'P' est aussi perpendiculaire à BP', et l'angle QP'Q' est l'angle ^ des deux plans qui se coupent suivanl BP'. La perpendiculaire QP' est égale à Q sinç; donc la distance QQ' = Q sin ç sin t^.
Le volume du tétraèdre considéré est égal au produit 11 1
V = 5 PasinO X ^Qsin^sin^ = gPQasinOsin^sin^.
Or a sin 0 est la distance des parallèles AP, BP ; a sin 0 sin^
^ Annales de mathématiques de Gerooune, 1827. — Statique de Môbius, 1837. ^Journal de mathémaliqueê pure» et appliquées^ 1847.
DE U. CI[ASI,ES. lus
esl la dislance du point A au plan l"BQ, c'esl-à-dire la plus courte (Jistanciî des forces P et 0 ; désignant par h celte plus courte dislance, on aura
Le volume du tétraèdre coiislrnlt sur les deux forces esl le Itroduit des deux forces par leur plus courte distance et par le -vinus de l'angle formé par leurs directions. Le volume du lé- Iraûdre ne cliau^e pas, par conséquent, lorsqu'on transporte les forces P el Q en des points quelconques le long de leurs directions.
Observons que Q sin ç, on QP", esl la pinjeclion de la force 0 sur un plan normal à AP; h est la diilaiice de celte projection à la même droite. Le produit Qh stn ç esl donc le moment de la force Q par rapport à la direction de la force P, et nous pouvons poser
On aurait de même
Ces relations peuvent servir à attribuer un signe au volume V.
Pour démontrer le tlicorcme, nous interpréterons d'une autre manière le produit rQhsin«.
Transportons les forces P et Q aux points où leurs directions sont rencontrées par leur normale commune.
^ODs la rlireclion de la force P pour n^e des s, la perpendiculaire OûDimune pour axe des x, et menons J*ie des y fcrpi'ndiculairement aux ''eox premiers. Soit 0B = /( la dis- '■nce des deui forces, et 081" = ^ l'angle de leurs directions.
i«s composantes de la force P sont, suivant I Die de« z-, l'»ie dca y, el luie ilcs i.
Fig. 66.
m THËOhÈME
Les composantes de Q sumnt les mêmes axes sont
0 Qsinf Qeosf.
Désignons par X', \\ Tl les composantes de la résultante de translation, et par L', M\ N' les composantes du couple résultant. On obtiendra pour ces quantités:
l' = Q8iiHp,
Z' = P + QcoSf,
M'= — QcosfXA, N'=-4-QsinyXA.
On en déduit
La fonclion LT-t- M'Y' 4- N'Z'=PQft sin ^estdonc égaleà six fois le volume du tétraèdre construit sur les deux forces P et Q.
D'un autre côté, soit R la résultante des forces X\ T', Z', H le couple résultant. La fonction LT + MT + NT, divisée par le produit RU, est le cosinus de l'angle a de R btcc II ; et par suite
