L'X' + M'Y' + N'Z' = RH C

Or Ilcosa est la projection, Kl, du couple résultant KH sur la

résultante de translation KR; c'est donc la valeur du couple minimum H' (g 63); de sorte qu'en définitive le produit PQh sin 9 est égal au produit de la résultante de translation R par ce couple H'. Le système des forces données n'est réductible que d'une seule manière à la force R et au couple minimum H'; mais il est réductible d'une infinité de manières à deux forces conjuguées P et Q (g 61) ; quelle que soit la décomposition adoptée, on aura

rQAsiny = RH',

et par conséquent le volume V du tétraèdre construit sur les deux forces P et Q est constant.

^^^^■^P DE MU. CIIASLES ET MOHIUS.

CeTolume est nul dans deux cas : quand R = 0, et quand II'^O, c'esl-à-dirc quand le système proposa est réductible i une force unique ou à un couple unique (^ 67 et 68).

Le tliéorcinc de M. Hôbius se déduit de la double équation L'X'+K'ï'+N'2' = PQABinï = RH'.

Chacun des facteurs L', X',... est une somme de composanlos ou de couples composants, dans laquelle figurent les n forces du systùmc donné. Soient, par exemple, Xj, Y„ Z, les composantes, el L,, M,, N, les moments par rapport aux axes, d'une forciî K, ; X,, Y,, Z,, L,, M,, N,, les quantités analogues pour une autre force F,, el ainsi de suite jusqu'à la force F,; le premier membre deviendra

En eflcctuant les opérations, on trouvera des termes

où les indices sont les mêmes : ces lermes ainsi réunis trois h trois sont scparùment nuls; en effiît, le couple (1,„ M^, N,) provient du transport au point 0, parallèlement à elle même, de la force (X,, Y,, Z,) ; l'angle de la force avec l'axe du couple est droit, cl par suite L,X, + M, Y, + N,Z[ est égal à zéro. Les seuls lermes qui subsistent dans lu somme indiquée sont donc ceux où les deux facteurs n'ont pus le même indice, savoir : L,ii,+i,x,-f-L,x,4-.. +s,v,^-M,ÏJ+...+^,^,-|-...

+l,X,+L,Xj+l,1,+ ... + V. + ''»ïi+--+f.ïi + --- + I.,X,+ L,X,+L,X, + .,,+Vi + NiV.+ . .+Niï, + ...

Sous cette forme, on reconnaît que la fonction L'X'+M'Y'+N'Z' peut se former par voie d'addition algébrique, en combinant deux à deux de toutes les manières possibles toutes les furces données. Considérons en particulier la combinaison des forces F(, F,, à laquelle correspondentles six termes

;L,X, + ï,ïj + K,Zj) + (LjXj + Mjï, + N ZJ.

100 THÉORÈME DE M. HOBIUS.

Si le système proposé ne contenait que les deux forces F^ et F^, celte somme serait égale en valeur absolue au produit

c est-à-dire au sextuple du tétraèdre construit sur les deux forces. Elle a d'ailleurs un signe algébrique qu'on peut fixer au moyen de la relation

on attribuera au produit le signe du moment d'une des forces par rapport à un axe qui coïnciderait en direction et en sens avec l*aulrc force. Soit V^j le volume du tétraèdre construit sur les deux forces d'indices t et j, pris avec le signe ainsi défini. La somme algébrique de toutes les valeurs de V^ correspondante aux diverses combinaisons admissibles sera égale au sixième de la somme L'X' 4- M'Y' -i- NT prise pour Tensemble du système donné, et Ton pourra poser réquation

L'X'4- M'Y' 4- N'Z'= RII'= 6 ^ Z \i-

Le volume V/^ étant nul toutes les fois que i^=j^ c'est-à-dire pour toutes les combinaisons à exclure, il n'y a pas d'inconvénient à attribuer à chaque indice toutes les valeurs entières de 1 à n.

La double somme indiquée est nulle si R=0 ou si ir=:0, de sorte qu'on parvient au théorème suivant, dû à M. Môbius:

Quand un système de forces a une résultante unique^ ou peut se réduire à un couple unique, la somme algébrique des tétraèdres construits sur ces forces^ prises deux à deux de toutes les manières possibles^ est égale à zéro.