CHAPITRE UNIQUE

COMPOSITION DES FORCES (PPLIQUÉEi A UN MÊME POINT MATËniEL. ÉgulLIBRE DU POINT MATÉRIEL LIBRE.

iO. On point matériel, entièrement libre dans l'espace, ef supposé en repos, reste indéfiniment en repos s'il n'est sollicité par aticiine force. Ce point prend un certain mouvement sous l'aclinn d'une force unique, si petite qu'elle soil, qui vient à le sollicifer, et ce mouvement commence dans la direction même de la force.

S'il est sollicilé à la fois par deux forces, le point prend en général un certain mouvement dans une direction particulière; mais il peut se faire qu'il demeure en repos; ce cas particulier a lieu quand les deux forces qui sollicitent le point sont égales et agissent en sens opposés. On dit alors qu'elles se délraiseiil ; c'est le caï le plus simple de l'équilibre.

Lorsque le point est sollicilé par trois forces ou plus de (rois, il es! possible qu'il demeure en repos; mais il faut pour cela

12 CONPOSITION

que les forces satisfassent à certaines conditions, que nous allons chercher.

1 1 . Avant tout nous poserons les axiomes et les définitions qui suivent.

Lorsque plusieurs forces F, F', F% ... sollicitent un point matériel, et qu'elles ne se font pas d'elles-mêmes équilibre, le point prend un certain mouvement qu*on peut toujours empêcher en appliquant au point, en sens contraire du mouvement qu'il va prendre, une nouvelle force R d'une intensité conve* noblement choisie. Alors les forces F, F', F", ... et R se font équilibre. Or si la force R sollicitait seule le point, on la tiendrait en équilibre par une force — R, égale et opposée. Au point de vue de réquiUbre du point, il est donc indifférent déconsidérer soit le système de forces

F, F', F", ... et R,

soit le système

— n et R.

La force — R est équivalente à l'ensemble des forces F, F', F", ... ; on dit qu'elle est la résultante des forces données.

Dans un système de forces en équilibre, chaque force est égale et contraire à la résultante de toutes les autres.

12. Lorsque les forces F, F', F", ... agissent toutes suivant la même direction et dans le même sens, leur résultante est égale à leur somme j c'est-à-dire qu'aux forces F, F', F% ... on peut substituer une force unique, agissant suivant la même direction et dans le même sens, et égale à la somme

L'ensemble de ces forces sera donc tenu en équilibre par une force unique R, égale à celte somme, et dirigée en sens contraire.

Quand deux forces F et F' agissent sur un point matériel suivant la même direction, mais en sens opposés, la résultante de ces deux forces est égale en valeur absolue à leur diffé-

rence, F — F', et elle esl dirigi'c dans le sens de la plus grande ; de sorle que l'ensemble de ces deux forces sera lenu en équilibre par une force agissant suivant la direclion des forces données, dans le sens de ta plus pelile, el égale à l'excès de la plus grande sur la plus pelJlc.

Chacune des forces F et F' peut être la résuKaiile ou la somme de forces agissant dans le même sens qu'elle.

De là résulte la règle suivante :

Lorsque plusieurs forces agmeiil sur un point matériel suivant la même direction, les unes dans un sens, les autres en sens opposé, leur résultante esl éijale à la différence entre la somme de toutes les forces agissant dans un sens el la somme de toutes les forces atjissant en sens contraire, et elle est dirigée dans le sens dé ta plus grande de ces deux sommes.

Si l'on attribue des signes aux forces données, le signe + à celles qui agissent dans un sens, le signe — à celles qui agissent en sens contraire, on pourra dire que la résullaiile de ces forces est tgule en grandeur el en signe à la somme alijébrique des forces données ; elle sera exprimée par l'ëqualian

la force — 1\, jointe aux forces ¥, F', F",.., compléicrail l'équilibre.

15. La mémo règle s'applique identiquement à des forces agissant suivant une même direction, sur dilfërenls points matériels distribués le long de cette direction, a des distances invariables les uns des autres.

Soient A et B deux points matériels situés à une distance AB, invariable dans un sens comme dans l'autre. Si l'on applique au système formé par ces deux points deux forces égalLS, F et — F, agissant en sens opposés suivant la direcùon de la < -i-* S ^ >

droite AB qui les joint, on peut f

n^arder comme évident que ces

forces se font t'squilibre ; car leur effet ne peut être que d'altérer la distance AB, laquelle est par hypothèse invariable.

Il coiFOsmi}9

U force F appliquée an poini B peut dooe être tenue en équilibre aussi bien par b force — F appliquée an point A de sa direction, qoe par une force — F appliquée au point B luimême, pounru que le point A soit supposé imrarîaUement lié nu point B. II en résulte qu'une force donnée peut être supfiosée appliquée en un point quelconque de sa direction ; ce transport des forces est d*ailleurs entièrement fictif et sert seulement en stati ]ue à opérer certaines transformaticms utiles à la solution des problèmes.

G0iposrnoi3i des fobces co^cockames.

14. Nous a\ons déjà tu (§ 5) que plusieurs forces appliquées en même temps à un même point se composent en une force unique en suivant la même règle que pour la composition des vitesses ou des accélérations. Mais il n*est pas sans importance de faire voir que la démonstration de cette proposition peut <Hre aiïranchie de toute considération de cinématique*, et qu'elle résulte des principes et des définitions de la statique pure.

15. Nous commencerons par observer que la résultante de deux forcée qui font entre elles un angle quelconque est dirigée dans le plan des deux forces ; et que si les deux forces Mont égales, leur résultante est dirigée suivant la bissectrice de leur angle.

Un point en repos, sollicité par deux forces à la fois, prend un certain mouvement unique et parfaitement déterminé ; or tout est symétrique par rapport au plan des deux forces, et si lo point sortait de ce plan, il faudrait qu'il choisit entre Tun ou roulro de deux déplacements symétriques également possibles;

* Noim no disons pas que la démonstration du parallélogramme des forces peut é(rn niTroncliifî de toute considération de mouvement; nous disons seulement qu'elle peut éiro uflrancliie de toute notion de cinématique, parce qu'on peut l'établir sans connaître la mesure des forces par les accélérations qu'elles comtnuniqtiont à un mémo point matériel.

un (cl ctioîs ëlaot inadmissible, et le fait du mouvement étant ct^pendiinl nécessaire, il faut que les deux déplacements également possibles coïncident et n'en fassent qu'un, ce qui les suppose situés dons le plan de symétrie. La résullanle des deux forces, qui est égale et contraire à la force capable de maintenir le point au repos, est donc dirigée dans ce même plan.

On démontrerait par un raisonnement tout semblable que la résultante de deux forces égales appliquées à un même point est dirigée suivant la bissectrice de leur angle.

16. On peut ajouter que la résultante do deux lorces égales qui font un angle constant est proportionnelle à l'intensité commune de ces forces, de sorte que si elles deviennent a la lois doubles, triples,..., la résultante devient en même temps double, triple,....

En effet, si les deux forces égales F et F', agissant sur le point M, ont pour résullanle la force B, dirigée suivant la bissectrice MR de l'angle FMF', deux nou- p velles forces F et F', égales aux pre- ^/^ miéres.cl appliquées au point M suivant les mêmes directions, auront pour résultante une nouvelle force II, dirigée «ncorc! suivant MR. Le point M peut <i(inc être considéré comme sollicité par deux forces, l'une «gale à 2F, agissant suivant MF, l'autre égale à 2F', agissant suivant MS', et ces deux forces ont pour résultante une force 2R, suivant la bissectrice de l'angle FMF'. En général, si toutes les forces qui sollicitent un point sont augmentées ou dimiimées dans un même rapport, sans altération de leurs directions, la résultante varie dans ce même rapport, et sa direction reste la môme. Quand on représente par des droites finies les forces et leur résultante, la même figure les représente encore, après leur altération, par un simple changement d'écbelle.

17. Proposons-nous d'établir la règle du parallélogramme des forces pour le cas où les deux forces F et F' sont dans un

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