V. «^tr iict«< F et r, CÊmposèa en
^ ^ ^' j^ffifiig, mir vite r&saltaaie R, ippli-
cmttf e!i A <t ârtpw sahaat CA. De
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iT Si^M^y w.maDiCi A {% C fa n?alkiifnuie AfiCDsonl
r -irb itrijikiiiiotzt 7» à laffilrf et qn'oe applique aux
p«t5 A et C saifant les
oMês AB. ad, CB, CD, des forres F,. F,. F,, F^, propiH^ tî.voelks aux kM^oears àt ces c:4és« et par soife <^>s deux à deux, lesTSt^-rf- d < f*rûls A rî C ien eii ê;iiil ire.
>a::<^w^ d al^rird coe k cAê hC «mlienne le cAté AB an
i>-.rrilirȔr *ii?ier de fjis, 4 foi* par exemple.
On p'/orra partager le f^r&UèkigTsiniDe ABCD en qoatrelovï :.»•>« ALEF. FIGH. HGEl. LECD; iiropnons qu'oa réunisse ie>. f^>iril- E. G. K. F, H, L aux points A et C de manière i t .î::.'t un «v^tèmeiniari^b'e. Nous pouvons partagerde même l'rî. foTot* éi^ales F, et F^ en quatre parties ê^Ies à F^, et supfx/';: o'- for ::es fiartielies appliquées Tune au point A, l'autre '<■* f^/int F, la troi^iênie au point H et 1j quatrième au point L. p'/nr la force F,; la première au point C, la seconde au
tZll^OO
Flg. 10.
point K, la tioisiome au point C, h qualrièmeau point E, pour la force F,. Nous pouvons encore, sans troubler rérjuilibre, appliquer aux points E et F, suivant le côté Ft), deux forces •'■gales et conlraîres, égales toutes deux à F, ; faire de mt^me aux points G rt 11, et aux points L et K. En définitive, nous aurons substitué au système primitif des (jualre forces F,, F,, F„ F,. In système ci-contrc, qui lui esléqui- \'alcnt au point de vue de l'équilibre.
Or chacun des losanges partiels est séparément en équilibre. L'ensemble est donc aussi en équilibre, et par suite les forces 1',, \\, Fj, F^, se font équilibre.
iS. Supposons ensuite que les deux côtés du parallélo' gramme soient entre eux comme deux nombres entiers, m et rt. La proposition sera cncoie vraie.
Nous pouvons en effet partager le parallélogramme en n parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand côté sera égal à m fois le petit. Supposons que le rapport des côlés soit \ . par exemple. Nous pourrons diviser le côlé Alt en trois parties égales, aux points Eet G, el menant les parallèles EF, GH, nous aurons divisé le parallélogramme en trois parallélogrammes égaux, dans cliHCun desquels le grand côté sera égal à 5 fois le plus petit.
La force F, qui agit suivant le côté AB peut être partagée en trois forces égales, appliquées respectivement en A, G et E; il i " ' i
en est de même de la lorce F„ ^yî- — ~ — -~ -A
dont on appliquera les partirs ,./ , , /'■
égales aux poinis C, F el 11. Ll'S / /
points E, G, II, F, étant supposés ' '. "
liés invariablement au s;slénie '°' ' '
des points A ut C, ajoutons on E et en F deux, forces égales à F„ agissant l'une de E vers F, l'autre de F vers E. Fpison'i de même en G el en II. Chacun des parallélogrammes AGIID,
18 PAUALLELOGnAVME
CEFH,EBCF sera en équilibre (§17); Tensemble (tes trois parallélogrammes est donc aussi en équilibre, et par suite les quatre forces Fj, F,, F,, F^ sont en équilibre, et le lemme est démontré '.
On en déduit celte conséquence :
La résultante de deux forces Fj, F,, appliquées à un même point A, passe par le sommet C du parallélogramme ABCD con" stniit sur ces deux forces. Car celle résultante fait équilibre à la résultante de deux forces F,, F^, laquelle passe en ce point C.
19. De là il est facile de conclure que la résultante R de deux forces P et Q est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme constmit mr ces deux forces.
Sur les côtés AB, AD, respectivement proportionnels aux
forces P el Q, construisons le parallélogramme ABCD. La résultante R des forces P et Q passera par le sommet C de ce pamllélogramme; mais nous "*• *^ ignorons encore quelle est
sa valeur» el si elle est proportionnelle à AC.
Prenons sur le prolongement de AC une longueur AE proportionnelle à la force R, et qui représentera en grandeur et en direction une force — R, égale el opposée. Les forces — R, P et Q se font équilibre. Donc la force — Q, égale et opposée â Q, est la résultante des forces P et — R ; et par suite, si on aohère le parallélogramme AEIIB, construit sur les forces Pet — R, la diagonaleAH de ce second parallélogramme sera dirigée en proloogemenl du côté AD du premier. I.es trois points H, ly D soot donc en ligne droite; les deux triangles EBA, CDA,
à êteodre b démonstration au cas oà les forces données sont
Oa peut employer pour cela soît la nMuction à 1 absonfet
5oiB BC nous arrêterons pts à déTclopper ce oomplé-
ont deux côlés égaux, IIE ;=: AB ^ CD, et les rfeiu ang'es Dcljaccnfs sont aussi ruspeclivement égaux : HEAr^ACD, AnE=ADC. DoncEA^AC, et par suite la réstillante li esl représentée, en grandeur comnio en direction, par la diiigonalc ACdu parallélogramme ABCD.
20. On peut parvenir par un procédé analytique ù la mémo conclusion. Deux forces égales, F, F', faÎHanl entre elles l'angle FJIF'^2a, ont une résultante II dirigée suivant In bissectrice de leur angle; de plus la résultante ~^^-^' J' D est pro|ioilionnelle, pnur une '\--
mémc valeur de l'angte «, à la r' X^
valeur commune F des coniposan- *'
les. La loi qui lie les forces F et II "^'
est donc exprimable par une relation de la forme
2 désignant une fonction i|u'il s'agit de déterminer.
Nous pouvons décomposer la force F en deux forces égales \ el /*, dont les directions fassent avec MF des angles égaux FM/"^ FM/* = %. Do même, nous décomposerons la force F' en deus forces/* et /"', égales entre elles et aux forces /"et/", suivant les directions M/*, M/"'", qui font avec MF' des angles égaux à 0. Appelant /'lamesurccommunedes quatre forces /',f, f, /*"', nous aurons, pour la déterminer, l'équation
La composition âes forces F et F' j-evient à la composition des quatre forces /", /*, /", /"'; or les forces égales /'et /*' se composent suivant leur bisscctiii-e MB en une force égale à
et les forces /*, f , suivant la môme bisscclrice, en une force
Donc et la fonction 9 doit satisfaire à la relation générale
quels que soient les angles a et ^.
Nous commencerons par déterminer certaines valeurs de la fonction 9.
1* Si Ton fait a=0, les deux forces F et F' prennent la direction delà force B, et par suite
Donc
2? Pour a=ô> Ï6S deux forces F et F^ prennent des directions opposées, et leur résultante est nulle. On a donc
V Faisons ensuite a=2* I^^ ^^^^^ ^ se décomposera en deux
forces égales /"et /"', Tune perpendicu-
' lairc à la direction de M, et l'autre daus
la direction môme de R. Il en est de
''^^ ï^ même de la force F'. 11 en résulte que
\ les forces f et /"" s'ajoutent pour don-
^ ner R, et que par conséquent
tandis que les forces /" et f" se détruisent. On a donc à la fois
et
.fô=*'^-
4° Enfin clierchons la valeur ('.cçlsl-
La force F est décomposaUe en doux forces f cl f, Tune/' dirigée suivanl ta ligne MB, l'autre f dirige suivant le prolongcmenl de la force P. La risnilante des forces F et P, ou des forces f, f, F', est dirigée suivant MH; or la force /"est déjà dirigée suivant MR; la résultante de F' et de /"est une force F' — f, dirigée ^^ ^^
suivant la ligne (Y' ; composée avec f, elle donnerait une rcsuHantc qui ne pourrait coïncider avec la direction MR. à moins qu'elle ne soit nulle. Donc/:=F'.
On en déduit
pour une valeur de l'angle a égale à s, et par conséquent
Connaissant ces valeurs, on peut en trouver d'autres au moyen de la relation [1]. Par exemple, faisons ^^ï,il viendra
Fi2«l = [rW]'-fto) = l?WJ'-2i
[•uis faisons a^20, et remplaçons 3 par a :
et ainsi de suite.
Observons encore que la fonction ^{a) ne s'annule pour aucune valeur de a comprise entre 0 et ~, et qu'entre ces limites elle décroît à mesure que la variable a augmente, de sorte qu'elle lesle comprise entre 2 et zéro.
