ÉQUILIBRE D'UN SOLIDE
au sujet des réactions R, W, R'', .... Mais ici plusieurs cas sont h distinguer, suivant le nombre des points d'appui.
1"* Supposons qu'il n y ait qu'un point d'appui, A (6g. 84). Dans ce cas, les forces données doivent être équilibrées par
la réaction R de cet appui. Pour cela, il faut et il suffit que la résultante des j forces données, normale au plan PP en
vertu des conditions générales exprimées par leà équations (1), (2) et (6), passe au point A. Les équations (3), (4) ^'^' ^*' et (5) nous le montrent. Elles prennent
en effet dans ce cas particulier la forme suivante ;
Z'-f-R = 0, L'-hny = 0, M'— Rx = 0.
La première détermine la valeur de la réaction R, qui. est égale et contraire à la résultante 1\
R étant déterminée, les deux équations suivantes sont des équations de condition qui doivent être vérifiées d'elles-mêmes. Remplaçant R par — Z\ il vient
Or L' est le moment de la résultante Z' par rapport à Taxe OX; ce moment étant égal à Z'y, la résultante perce le plan PP à une distance de Taxe OX égale à y ; Téquation M' -h Z'o: = 0 montre de même qu'elle perce le plan à la distance X de l'axe OY. Le point A est donc le point de passage de la résultante des forces extérieures.
Lorsqu'il y a un seul point de contact, les conditions d'équilibre sont ainsi au nombre de cinq ; elles expriment que les forces extérieures peuvent se ramener à une force unique, normale au plan, et passant par le point donné ; la réaction du plan est alors complètement déterminée.
2"* Supposons qu'il y ait deux points de contact, A et B (fig. 85).
GUSSAST SUn us PLAM.
Les équations (5), (4) et (5) deviendront, en ne conservant que deui réactions,
Pour interpréler rncilcmcnl ces équations, supposons qu'on ail pris pour axe OX la droite AB: on aura alors !/;=0, i^^O, et la seconde équation deviendra zi
Les deux autres équations serviront â déterminer les réactions R et R'.
Dans le cas où les points d'appui sont au nombre de deux, il faut pour Vétiiii-
libre, oiilre les condUiom tjénéiales, que la somme des moments des forces soit nulle par rapport ù la droite passant par les deux points d'appui. 11 faut, en d'autres termes, que les forces données aient une résultante unique, normale au plan PP, et rencontrant la droite AB, qui joint les points d'appui. Les réactions des deux points A et B sont cnrorc déterminées par la slalique.
5* Supposons qu'il y ait trois points d'appui, A, B, C.
Les'Irois équations (3), (4) et (5) deviendront
Z' + R + R' + |C = 0, L'-i-liij+R-y + R'>j' = 0.
H'— Rj — B'^ — lt"i' = 0.
Etics sont en nombre égal au nombre des inconnues H, ff, B'; elles sudisent donc en général à les déterminer ; il y a Cendant un cas d'exception : c'est le cas où les trois poînis i, B, C sont sur une même ligne droite; car, si l'on prend «lie droite pour axe OX, les coordonnées!/, y', y' étant nulles ensemble, l'équation (4) se rédiiil è L':::^0, ce qui donne une nouvelle condition d'équilibre; alors les deux équations (5) i) ne sufûsent plus pour déterminer les trois inconnues rS'elR'.
130 ËQUILIBIIE D'UN SOUDE
Le cas de trois points d'appui se décompose donc en deui :
Si les trois points d*appui sont en ligne droite, il faut, pour qu'il y ait équilibre, que la résultante des forces données coupe en un certain point la ligne droite passant par les points d'appui; les réactions de ces appuis ne sont pas déterminées par les équations de la statique.
Si les trois points d'appui ne sont pas en ligne droite, il n'y a pas d'autres conditions d'équilibre que le^ conditions générales (1), (2) et (6); et les réactions des appuis sont déterminées par les équations (3), (4) et (5).
4"* S'il y a plus de ti*ois points d*appui, et s'ils ne sont pas en ligne droite, il n'y a pas de nouvelles conditions d'équilibre, mais les trois équations (3), (4) et (5) sont insuffisantes pour déterminer les réactions inconnues.
Si tous les points d*appui sont en ligne droite, il faut ajouter une nouvelle condition d'équilibre, exprimant que la résultante des forces données rencontre la droite contenant tous les points d'appui.
92. Lorsque le corps solide, au lieu d'être assujetti à glisser sur le plan sans pouvoir s'en détacher d'un côté ni de l'autre, est simplement posé sur le plan, il y a de nouvelles conditions à ajouter à celles que nous avons trouvées. On doit exprimer en effet que les réactions R, R', R", ..^ sont dirigées du côté du plan vers lequel le corps peut s'en détacher; car, par hypothèse, le plan n'exerce aucune action pour retenir le corps, lorsqu'on cherche à l'en détacher de ce côté (cf. g 77). Supposons que Taxe OZ ait été dirigé de ce côté particulier du plan : il faudra que les réactions R, R', R", ... soient toutes positives. Or leur somme est égale à — Z', en vertu de l'équation (5i; donc il faut que — Z' soit positif, ou que TI soit négatif, ou qu'enfin la résultante des forces extérieures tende à appuyer le corps sur le plan, et non à l'en détacher. Cette nouvelle condition est suffisante pour compléter l'équilibre lorsqu'il n'y a qu'un point d'appui.
S'il y en a deux, .4 et B, il faut, pour que les réactions R et R' soient toutes deux positives, que la résultante des forces
POSE SDR UN PLMi. 157
[Slieurcs coupe la droilc AD et\\re les dcui points A el B. La Torce Z' est alors décomposable en deux forcos parallèles et de ménic sens, appliquée!; en A et B, el qui seront égales et con- Iraircs aux i éactions chcrcliées (Gg. 86),
S'il y a trois points, non en ligne droile, A, B, C, la ri'sultanlcdc's forces extérieures devra, pour l'équilibre, passer dans l'intérieur du Irtangle ABC. Supposons, en effet, qu'elle passe par un point 1, extérieur a ce triangle (Hg. 87). L^un des cAtés CB du triangle, prolongé indélinimenl, laissera le point I et le sommet A de différetils cûlés de sa direction. Or la césullanle appliquée en I est diri^Te de haut en bas; la réaction du pliinsur le point A ne ptul i>tre dirigée que de bas (31 haut. Ces deux forces tendraient toutes deux a faire louroer le corps dans un même sens autour de CB. L'équilibre ne serait donc pas possible, et le corps chavirerait autour du eôté CB.
Il faut donc, pour l'équilibre, que le point de passage de la rtsultanle, 1, soit compris à l'intérieur du triangle ABC. Celte condition remplie (lig. 88), il sera facile , de déterminer les réactions positives des piùnts A, B, C. Prenons les moments des forces par rapport à un c(Mé quelconque, BC. Aliai'isons des points  et I» sur fc C"'ité BC, des perpendiculaires ' AA', la. Appelons, comme tout à l'iieure, r la résultante des forces extérieures, laquelle est négative
138 ËQUIUBRB D*UN SOLIDK
par hypothèse; son moment par rapport à Taxe BC sera égal à Z' X la ; le moment de la réactioa R da point A sera égal à R X ÂA' ; les moments des autres réactions sont nuls, de sorte qu*on a Téquation
ou bien
Mais Ta et AA' sont les hauteurs des triangles IBC, ABC, lesquels ont une base commune BC, et sont entre eux comme leurs hauteurs; la réaction du point A est donc à la résultante des forces extérieures, prise en valeur absolue, comme le triangle IBC est au triangle ABC. De même, la réaction R' du point B est à la même résultante comme le triangle lAC est au triangle ABC, et la réaction R'^du point C est Ma résultante comme le triangle lAB est au triangle ABC. La résultante des forces extérieures est d'ailleurs la somme des trois réactions R, R', R", et le triangle ABC est la somme des trois triangles IBC, lAC, lAB; on peut donc dire que la résultante des forces extérieures se partage entre les trois points d'appui A, B, C, proportionnellement aux aires des triangles IBC, lAC, lAB, qui ont pour sommet commun le point 1, et pour bases les côtés du triangle opposés aux points d*appui.
Si les trois points A, B, C sont en ligne droite, les triangles lAC, IBC deviennent nuls, et la répartition des réactions reste, comme nous l'avons \u, indéterminée. Mais il faut toujours, pour que les réactions soient positives, que la résultante des forces extérieures coupe la droite des appuis entre les appuis extrêmes; autrement elle tendrait à faire basculer le corps autour de Tappui le plus voisin.
Enfin, s*il y a plus de trois appuis, et s'ils ne sont pas en ligne droite, on prouverait, comme nous l'avons fait pour le cas de trois appuis, qu'il faut, pour qu'il y ait équilibre, que la résultante des forces extérieures passe au dedans du poly-
