PAR DIVERSES FORCES
22. Lorsqu'un p int matériel, libre dans Tespace, est sollicité par diverses forces, il faut et il suffît, pour que ce point soit en équilibre, que la résultante de toutes les forces données soit uulle^ ou bien que le polygone des forces données se ferme de lui-même.
On peut transformer cette condition. Soit 0 le point matériel, OF une droite finie représentant en grandeur et en direction Tune des foi ces qui agissent sur ce point. Par le point 0, menons arbitrairement trois axes coordonnés OX, OY, OZ ;
D'US POIM LIUHE. S7
nus pourrons considérer la droite OF comme la diagonale d'un farallèlt^pipèdedoiilles laces, aboutissaiil au sommet 0, soient nluèes dans les plans XOY, VOZ, EOX.. 11 suffit pour rela de mener par le point F, parallèlement aus plans coordonnés, trois plans qui couperont l«s ases en des points A, B, C. Nous regarderons la force OF comme la ri-sullanle dos Irois forces OA, OB, OC, agissant ^'s- "■'■
sur le point 0 dans la direction des Irois axes coordonnés. A cliaque force F correspondront ainsi sur les axes Irois composantes, que nous désignerons d'une manière générale pur X, Y, Z ; la composition des forces F se simplifiera en composant d'abord ensemble, par voie d'adiUlion algébrique, toutes les forces qui agissent suivant un même a\c ; puis, en dernier lieu, en composant les Irois résultantes parlielles par la règle du parallélépipède.
Soient F,, F,, F„ ... F,, les « forces qui agissent sur le point 0. Nous appellerons :
X,, Y„ 2,, les Irois composantes de la force F,, prises avec les signes cunvenables ; X,,Y,,Z„ les trois composantes delà force F,. ...; X,, Y,, Z., les trois composantes de la force F,. Les trois composantes de la résultante des ti forces données aenml respectivement égales aux sommes algébriques
OU, sous forme abrégée,
ïX, ïï, il.
les sommes S étan' étendues à toutes les composantes des force? flonnées.
Pour que le point soit en équilibre, il faut el il sullit que la
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résultante des forces soit nulle, ou que le parallélépipède qui a pour côtés les sommes précédentes ait une diagonale nulle, ce qui exige que ses côtés soient séparément ^ux à léro. Les conditions d'équilibre sont donc au nombre de trois, sa-
voir :
ou bien
Xi4-X«-f ...-♦-x«=o, Z,-»-Z4+...-f z. = o.
2X=0, IY=0, SZ = 0.
23. En général, on applique ces équations à des axes rectangulaires, sur lesquels les forces OF se projettent orthogonalemcnt.
Soient OX, OY, OZ, trois axes rectangulaires; la force F fait des angles a, ^, Yi avec ces trois axes. La composante de F suivant Taxe OX sera Fcosa; suivant Taxe OY, Fcos^, et suivant PaxeOZ, FcosY-
La somme algébrique des composantes de toutes les forces qui sollicitent le point 0 sera
suivant l'axe OX, £Fcosa,
suivant Taxe OY, XFcosiS,
et suivant l'axe OZ, ZFcosy.
Si Ton définit la direction de la force F par deux angles,
la longitude 0, angle du plan ZOF avec
le plan ZOX , et la colatitude y, angle
J • de la direction F avec l'axe OZ (I, § 65),
on aura
COSasCCSOsiny,
cos^ = cos9sin7,
et les sommes des composantes seront
2X=2FcosOsin/, ïV=2FsinOsiny, XZ=2Fcos/.
Fig. 17.
B'IS POINT LICI'.E. a,
L'6quilibre s'exprimera en égalant séparémenl ces trois sommes :i zéro.
21. Eti rèsumé, l'équilibre d'un point matériel dans respace fxige, comme condition nécessaire el siiflisaïUe, que la somme algébrique des projections, sur trois axes coordonnés, des forces qui le sollkitenl, soil égale à zéro. S'il en cf,t ninsi pour les projeclionssur Iroîs axes, on peut alfirmer i\vic la somme des projections des forces faites parallèlement à ttn plan fixe sur un axe quelconque est aussi nulle. Car celte somme n'est autre chose que lu projection sur cet axe de la résullanlc des forets données, laquelle est nulle dès que ses composantes, parallèles à troisaxesnon situes dans un même plan, sont nulles toutes trois.
VËKIt'ICUION LXPÉHIMENTALE DE LA COMPOSITION DES FOIICËS.
25. On mesure en général les forces en les comparant à des poids. Mais le poids d'un corps est dirigé suivant la verticale, et il faut recourir à un certain artifice pour en changer la direction. On peut se servir à cet effet d'une poulie, sur laquelle on fait passer le fil auquel le poids est suspendu. Si le fil est suflisammenl fin, et si la poulie est bien ronde el bien mobile autour de son centre, la tension du fil, au point où il s'attache au corps soumis à l'expérience, sera sensiblement égale au poids suspendu h son extrémité.
Pour vérilier expérimentalement la règle du parallélogramme des forces, on allachera à un corps M de forme quelconque, sphérique par 1
exemple et de petites dimen- [}f
sions, trois fils qu'on fora p^^ ,g
passer sur trois poulies a, U, c, suspendues en trois peints fixes A, B, C, Aux exlrémîlés des
