C03IP0S1T10N
Ces diverses remarques vont nous conduire à la détermination de la fonction 9.
Dans Téquation [i] faisons a=n^^ n étant un entier positif ; nous en déduirons
I f[(«H-i)^]-f?[(«-ïl^]-vi"^lrl^l»
bu bien, en [osant d'une manière générale ç(fc^)=M4, pour ' toute valeur entière de /;,
ou encore
tifl-hi — î/iiiji + w»-.i = 0. (2)
Celte équation montre que la série
tl| Ht Ils ... «• •••
est récurrente; chaque terme se forme en ajoutant les aeux précédents, multipliés l'un par le nombre constant Mp Taulre par — 1 . On peut faire précéder le terme u^ du terme
Cherchons à exprimer u. en fonction deWj. Pour cela, considérons la série
et multiplions-la par le trinôme
La lettre x représente une variable auxiliaire, dont la valeur reste indéterminée, et qu'on peut, une fois pour toutes, supposer assez petite pour assurer la convergence des séries dont on va faire usage.
Le produit se réduit à ses deux premiers termes
de sorte que la série S s'obtient en eflcctiianl la division
Décomposons cette fraclion ralionnelle en fractions simples. Les facteurs du dénominaleursont
a'^vi^)— .
on a donc à déterminer les conslantes A el B de manière à satisfaire a l'identité
2— fit g A n
Pour cela, il faut quon ait séparément
ou bien
2 ïi! -«- — i
el enfin
Substituons ces valeurs de A et B. Il vient pour la série S,
^,^y/vzT. "a y/<::7
La division permet de développer chacune de ces fractions simples en une progression géométrique :
'Ht-' (t'-Vt-O* '"' ¥^/^
Donc enfin, en comparant a Téqualion (2),
-(î-\/?^)v(?*Vî^"-
Introduisons une nouvelle variable 6, enposantu^=2cos6; comme ttj^2 pour P = 0, nous pourrons faire en sorte que les arcs 0 et ^ s'annulent ensemble ; nous pourrons d'ailleurs les regarder tous deux comme positifs. Il résulte de cette relation
et par suite
Si donc on exprime 9 (p) par le double du cosinus d'un certain arcO, 9(11^) sera exprime par le double du cosinus du produit de cet arc par n^ et cela quelque grand que soit le multiplicateur 91.
Remplaçons n^ par a; nous aurons à la fois les deux êqua* lions
^(fl() = 2cos nO,
Faisons ensuite croître indériniment le nombre entier n. L'arc ^ deviendra infiniment petit, ainsi que Tare 0, et nous pourrons poser à la limite 0=50, s étant la vraie valeur du
npport -. quand les deux arcs 0 et 6 convergent à la fois vers
zéro.
On en déduit
8 ns
et
ttO = -.
Donc
f[a) = 2cos-;
dans celle équation, s est un nombre constant qui reste à déterminer, et l'équation est vraie d'une manière générale, puisque Varc a est un arc Gni quelconque.
Pour déterminer l'arbitraire «, faisons «=5 ; I& fonction
doit s'annuler ; donc cos ^ =0 ; ce qui suppose s égal à Pin-
verse, ^y-^ — j , d'nn entier impair.
On aurait donc
^(a) = 2cos(2^-f l]a.
Mais alors la fonction 9 s'annulerait pour une valeur de x satisfaisant à l'équation (2s'-i-l)a=^, et si 2s'-*- 1 était >1,
cette valeur serait comprise entre 0 et ^, ce qui est contradictoire avec la signification particulière que nous attribuons à la fonction ç. Donc enfin s=i, et la fonction ç(a) est égale à 2cosa.
Cette fonction satisfait à toutes les conditions proposées. Elle
EvriUfiRE
1 :enJ la Taleur 2 pour a=0, la valeur 0 pour a =?. la valeur ^ î pour 2=7* ^i 1a ^^leur 1 pour z=^. D'ailleurs on a
ol par suite
On airiver.til à la mt^me conclusion en développant les fonctions çUdip par la série de Taylor; c*est la mëlhode que suivaient Poisson, Navier, o!c.
La proposition démontrée pour le losange s*étend sans difficulté au paralK'lo^raïuine, en commençant par le cas particulier du rectangle.
!2 1 . La rôgle du paralUlogramme des forces peut être ensuite généralisée et étendue à la composition de tant de forces qu'on voudra : s'il y a trois forces, elle devient la règle du parallélépipède des forcer: s*il y en a plus de trois, la règle du polygone des forces. La résultante des forces appliquées en un même point est toujours ivprésentée en grandeur et en direction par la re'sultante gêoméirlque des droites qui représentent les forces données il, g 19).
CONDmOXS DÉOl'ILIDRE D\7k rOUCT XATÉRIEL SOLLICITÉ
