TENANT LIEU DES LIAISONS

Ç< f^i» Hft 2j) = 0, en considérant dans la fonction <pi les coordonnées Xy, yjy % comme variables, et les coordonnées des autres points comme constantes.

APPLICATION A l'ÉQUIUBRE DES MACHINES.

137. Les machines qu'on emploie dans Tindustrie sont en général des systèmes à liaisons complètes (I, g 117). Pour un tel système, il n'y a qu'un déplacement possible dans un sens ou dans le sens opposé. La condition d'équilibre de la machine s'exprimera en égalant à zéro la somme des travaux des forces correspondant à ce déplacement infiniment petit.

Prenons pour exemple une machine composée delà manière suivante :

Une tige AB est destinée à pousser ou à tirer, le long de la droite fixeOA, le point B, extrémité de la bielle BC; le point C, autre extrémité de la bielle, est articulé à la manivelle OC, mobile autour de Farbre tournant 0. Sur cet arbre tournant est montée une roue d'engrenage M ; elle engrène avec un pi-

ng. 124.

gnon m% monté sur l'arbre parallèle 0'; le pignon m' fait corps avec la roue M', qui est centrée sur le même arbre. Celte roue engrène avec le pignon m", monté sur un troisième arbre parallèle 0*. Le tambour K, concentrique au pignon m', est sollicité à sa circonférence par une force tangente R ; son rayon est égal à r. On demande quelle force F il faut appliquer à la lige BA pour tenir la force R en équilibre. Si Ton désigne par t le déplacement infiniment petit du

908 APPLICATION DU THÊORÊHE

point d'application B de la force F, et par e^ le déplacement infiniment petit correspondant du point d'application K de la force R, et si Ton suppose qu'il n'y ait aucun frottement dans les articulations et les engrenages, l'équation d'équilibre sera

Ff — Ri'ssO;

la question est ramenée à un problème de cinématique :

trouver le rapport - des déplacements linéaires simultanés

des points E et B.

Nous pouvons prendre e pour mesure de la vitesse linéaire du point B. La vitesse angulaire de l'arbre 0 sera égale à

^ (I, § 135), I étant le point de rencontre de la bielle CB a\ec

une perpendiculaire 01 sur la droite OB; la vitesse angulaire de l'arbre 0' est à celle de l'arbre 0 dans le rapport inverse des nombres de dents des deux roues M et m'; appelons M et m! ces nombres de dents; la vitesse angulaire de l'arbre (f sera donc

celle de l'arbre 0' sera, par la même raison»

OI^m'^SF'

et par suite la vitesse e' du point E est

on a donc et enfin

M IP r

On remarquera qu'aux points morts 01 est nul, et par suite la force F est infinie; ce qui indique qu'il est impossible de tenir en équilibre une force R tangente ù la roue 0*, en em-

A LÊQUIUBRE DES MACHINES. 209

ployant une force F dirigée suivant la longueur de la bielle, lorsque la manivelle est à Tun des points morts.

Nous avons fait abstraction du frottement. Si Ton devait en tenir compte, il faudrait introduire dans Téquation les travaux des composantes tangentielles aux surfaces qui glissent les unes sur les autres. Mais ces composantes sont inconnues; tout ce qu'on sait, c'est qu'elles sont au plus égales aux produits des réactions normales par le coefficient de frottement (g 99). Elles ne deviennent égales à cette limite supérieure que quand le glissement a effectivement lieu. Mais, même dans ce cas, elles restent encore inconnues, puisqu'elles renferment en facteur les réactions normales, que la méthode du travail virtuel a pour effet d'éliminer. Il faut alors traiter séparément l'équilibre de chaque partie de la machine, ce qui met en évidence, comme forces extérieures, les réactions mutuelles de ces parties. Nous aurons loccasion, dans le livre VI, de résoudre quelques questions de ce genre.

138. Le théorème du travail virtuel est comme un lien qui rattache ensemble les diverses parties de la mécanique. Nous venons de voir qu'il introduit dans la statique des considérations cinématiques qui, au premier abord, paraissent étrangères à la science de l'équilibre, et nous verrons plus tard qu'il peut être regardé comme un corollaire du plus important des théorèmes de la dynamique, le théorème des forces vives.

SIMILITDDE STAnQUE.

139. Considérons un système matériel en équilibre sous l'action de forces données ; imaginons un second système matériel géométriquement semblable au premier. Nous entendons par là que le second système est déduit du premier en amplifiant dans un rapport constant, a, les coordonnées de ses divers points. S'il y a dans le premier système des liaisons exprimables au moyen d'équations, des liaisons semblables existeront pour le second; elles seront exprimées par les mêmes équa-

n. — ntc ooLLmioR. 14