REMARQUE SUR UN THÉORÈME DE STURM
148. Considérons (fig. 130) sur une surface un point 0 quelconque; par ce point menons la normale OZ, et les deux plans rectangulaires ZOX, ZOY, des sections principales. Le plan ZOX coupe la surface suivant une courbe OA, dont le centre de courbure est un point C pris sur la normale OZ; le plan ZOY coupe la surface suivant une courbe OR, dont le centre de courbure est en C\ sur la même droite. Le théo-
Wi THÉORÈME DE STURII
rème de Sturm dont nous voulons parler, consiste dans l'énoncé suivant * :
Les normales à la surfaceSen ses points infiniment voisins du point 0 rencontretit les axes des cercles osculateurs des sections principales relatives à ce point 0, c'està-dire les droites CD, CD', élevées par les points C et f/, perpendiculairement aux plans ZOÎ, ZOY.
Pour démontrer ce théorème par des considérations de statique, imaginons qu'un système solide invariable repose sur la surface S par les trois points 0, X I A, B, et qu'il soit sollicité par une force
Fig. 130. F, passant dans l'intérieur du triangle
OAB. Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la force F soit normale à la surface S; car on peut la supposer appliquée en un point infiniitient voisin de celte surface, et l'équilibre sera assuré si le déplacement virtuel de ce point, parallèlement à la surface S, est perpendiculaire à la direction de la force F. La force F est alors tenue en équilibre par les réactions des trois points 0, A, B, lesquelles sont dirigées suivant les normales OC, AC, BC. Toute droite qui rencontre ces trois normales rencontre donc aussi la direction de la force F, et par suite la normale F, menée à la surface en un point infiniment voisin du point 0, rencontre les deux droites CD, C'D\ qui s'appuient à la fois sur les trois normales OC, AC, BC.
Le théorème est ainsi démontré. Mais on voit du même coup qu'on pourrait en dire autant d'une droite quelconque menée parle point C dans le plan YOZ, et d'une droite quelconque menée par le pointe dans le planZOX, de sorte que le théorème est susceptible d'un énoncé plus général : Les normales à la surface S en ses points infiniment voisins du point 0 rencontrent toutes les droites menées par le centre de courbure d'ufie section principale darisleplan de Vautre section principale.
^ Comptes rendue de V Académie des sciences ^ t. XX, 1845.
ET DE HEUSNIER. 223
n semble cependant contradictoire d'admettre que la direction de la normale F puisse rencontrer deux droites distinctes menées par le point C dans le plan YOZ, sans être tout entière contenue dans ce plan. Mais cette contradiction s*explique aisément, en observant que la proposition n'est vraie que pour des dimensions infiniment petites de la figure OAB. La substitution de la droite CD" à la droite CD dans le plan principal YOZ a pour unique effet d'altérer infiniment peu la direction de la/orce F, et cette altération s'annule à la limite, quand le point d'application se rapproche indéfiniment du point 0.
La surface donnée, aux environs du point donné 0, peut être considérée^ d'après le théorème de Sturm, comme engendrée, soit par le cercle osculateur COA, tournant autour de Taxe C'W, soit par le cercle osculateur C'OB tournant autour de l'axe CD. Cette double génération avait été indiquée primitivement par Meusnier ^ On voit qu'aux axes indiqués CD, CD' rien n'empêche d'en substituer d'autres, pourvu qu'ils passent par les points C et C, et qu'ils soient contenus dans les plans principaux BOC, AOC\ En effet, faisons tourner l'arc infiniment petit OA autour d'un axe oblique C'D'', mené dans le plan AOG\ L'élément de surface de révolution engendré par cette rotation aura pour rayons de courbure principaux au point 0 le rayon de courbure CO de la méridienne, et la portion OC de la normale comprise entre la méridienne et l'axe, c'està-dire les rayons principaux de la surface donnée au point 0. Ces deux surfaces sont donc osculatrices tout autour de ce point.
