THÉORÈME DE GAUSS

149. Soient M,M\.. des points matériels faisant partie d'un système quelconque à liaisons, et P, P',... des forces appliquées en ces points. A partir des points M, M',... prenons, sur

* Vémoiresnr la courbure des surfaces (1780).

les directions des forces, des longueurs MN=fcP, M'N'=fcP', k étant un nombre arbitraire ; cetle construction nous donne des points N, N',... que nous considérerons comme fixes. Soientp, p'... les longueurs MN, M'N'... ainsi définies.

Cela posé, si les forces P, P',... se font équilibrey la somme Ip' est mnimum oti maximumyparmi toutes les valeurs qu'elle prend lorsque les points M, M^ ... subissent des déplacements virtuels compatibles avec les liais(ms.

En effet, soit MM^ le déplacement virtuel imprimé au point ^ M, et (A la projection du point M^ sur la \::::p='^''"^ direction MP.

}^^f^ La» condition d'équilibre sera

»' ^7 OU bien

Fig. 151. 2P*p = 0,

Ip étant la variation, M^i, de la longueur MN=p. Remplaçant P par p il vient

ou bien

en supprimant le facteur commun &; on a donc

équation qui montre que Ip* est en général un maximum ou un minimum.

Pour savoir si Ip* est maximum ou minimum, représentons par e Tangle M^MN; appelons p^ la dislance M^N, et r le déplacement MM^; nous aurons

Pi' = ;j* 4- r* — 2/?rc08 Ô ;

donc

ce qu'on peut écrire

et il suffira d'examiner le signe de la différence 2r" — SSprcos 0,