DU CYLINDRE TRONQUÉ

de la seclion, et conduisons par celte droite un second plan AEBF, Taisant un angle infinimenl petit avec le premier. De celte manière, nous ajoutons d'un cdté au volume du prisme ou du cylindre un onglet infiniment petit AFDB, et nous retranchons de Tautre Tonglet infiniment petit ACEB. Faisons tourner la figure ACDB autour de AB pour l'amener dans le plan AEBF. Dans ce mouvement elle engendrera deux onglets de révolution opposés par le sommet, qiii difTèreront des onglets cylindriques AFDB et ACEB, d'infiniment petits du second ordre; or ces deux onglets de révolution sont égaux en vertu du théorème de Guldin ; car l'un étant pris positivement, l'autre négativement, leur somme algébrique est nulle (g 213). Il en est donc de même des onglets cylindriques, et par suite le volume du cylindre ou du prisme, compris entre une section quelconque MN et la section ACBD, n'est pas altéré par la substitution au plan ACBD, d'un plan infiniment voisin AEBF, pourvu que le second plan passe par le centre de gravité G de la section déterminée par le premier.

Le centre de gravité de la nouvelle section coïncide avec le centre de gravité G de l'ancienne, car la seconde section est la projection de la première, parallèlement aux arêtes du cylindre (g 216). On n'altère donc pas le volume du cylindre en faisant encore tourner le plan de la section EF d'un angle infiniment petit autour d'une droite passant par le point G. En définitive, qu'on modifie comme on voudra l'orientation du plan de la section ACBD, pourvu que ce plan passe toujours par le centre de gravité G de la section, le volume du cylindre n'en est pas changé.

217. Cette remarque conduit à la mesure du volume du cylindre ou du prisme tronqué. Soit P un cylindre coupé par deux plans A, B, menés d'une manière quelconque. Prenons le centre de gravité G de la section A : la section B est la projection de la section A sur le plan B, faite paral-

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lèlement aux génératrices du cylindre ; donc le centre de gravité, G\ de cetfe section, est situé sur une parallèle aux génératrices, menée par le centre de gravité de l'autre section A. Par les points fî et G', menons deux plans, a, b,normaux aux génératrices. La substitution de ces sections aux sections primitives n'altère pas le volume du cylindre (g 216), de sorte que le volume compris entre les sections normales a et & est égal au volume donné ; mais le cylindre ab est un cylindre droit, dont le volume s'obtient en multipliant la base, Surr. a, par la hauteur, CG'; le produit Surf, a xGG'est doncaussila mesure du volume AB, et Ton obtient ce théorème :

Le volume d'un qjlindre ou d'un prisme tronqué est le produit de Faire de sa section droite par la distance des centres de gravité de ses deux bases.