TIIÉOBÈAIES DIVERS SUR LES CENTRES DE GRAVITÉ
218. Lorsque des forces se font équilibre autour d^un même point 0, ce point est le centre de gravité d'un système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces. Soient
p X|, Yj, Z|,
les composantes suivant les trois axes rectangulaires OX, OY, OZ des n forces qui sollicitent le point 0. L'équilibre ayant lieu, on aura
X44-X, + X,-f-...+X, = 0, Yi + Y,+ Y, + ...+Y„=0.
Z,-f-Z»-HZ5-H... -♦-Z, = 0.
Un point matériel de poids p, placé à l'extrémité M de la
droite OM qui représente la première force, a pour coordonnées OP=Xp PN= Yp NM=Z4. Les composantes des forces données représentent ainsi les coordonnées des points matériels correspondants. Le centre de gravité de ces points, supposés tous également pesants, a pour coordonnées
ï.j> ■" Ip '
S/»Y ptï
^ ip 2p'
Or, les sommes 2X,2Y, SZ, étant nulles, il en est de môme des coordonnées Ç, t) et Ç. Le centre de gravité est donc à l'origine.
On pourrait aussi placer tous les points matériels M à une distance constante de Torigine, sauf à leur donner à chacun un poids proportionnel à la force correspondante OM (Cf. §28).
219. Lorsque différentes forces sont appliquées à un même point M, la résultante de ces forces passe par le centre de gravité G d^un système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces^ et elle est égale au produit de la distance MG par le nombre des forces données.
Soient MF, MF', MF', .... les n forces données; elles sont tenues en équilibre par une force MR, égale et contraire à leur résultante. Plaçons des poids égaux p aux points F, F', F'', ... et au point R ; le centre de gravité de ces points sera le point M. Soit G le centre de gravité des poids placés en F, F', P, .... On obtiendra le centre de gravité M du système total en composant le ^'^s- los.
poids np appliqué en G avec le poids p appliqué en R. Donc les trois points R, M, G sont en ligne droite, et MR est égal à n fois MG.
220. Le théorème du § 167 est un simple corollaire de celle proposition.
Soit H un point matériel qui attire chaque molécule d'un systèmes proportionnellement à la quantité de matière qu'elle renferme et à sa distance à ce point.
Partageons le système S en n parties infiniment petites, ayant chacune un même poids p. Les forces qui représentent les attractions de ces diverses parties A, A', A"... sur le
point M sont représentées en grandeur et en direction par les droites MA, MA% MA',... Leur résultante, qui représente l'attraction totale de M sur S, ou de S sur M, passe au centre de gravité 6 des n poids p placés en A, A', A",... c'est-à-dire au ^' centre de gravité du système S, et
elle est représentée en grandeur par le produit MGxn; elle est donc la même que si les n poids p étaient réunis au point 6.
Lorsque rattraction par unité de poids est proportionnelle à la distance^ un point matériel attire un système comme si toute la matière de ce système était réunie en son centre de gravité^ et par suite deux systèmes matériels s^attirent comme si la matière de chacun d^eux était concentrée en son centre de gravité. •
221. Soient A, B, C,...D, n points matériels donnés de position dans l'espace; soient Pj.p,,^,,.. .pâleurs poids respectifs. Déterminons le centre de gravité 6 du système formé par ces n points. Soit enfin M un point quelconque pris dans l'espace. Le théorème que nous allons démontrer cmisiste dans l'énoncé suivant :
La somme
MÂ*X/>, -H MB* xr, + Se' xp, + . . . + MD* X ;?.
des carrés des distances du point M aux n points donnés^ tnuftt-
pMs par les poids respectifs de ces points j est égale à la même somme prise pour le centre de gravité 6,
GÂ*Xi?i + GB*Xpt 4- 6C* Xp,+ .. . H-ÎI?Xpii,
augmentée du produit du carré de la distance des points }l et G par Upoids total (p^ ^-Pi^-p,H- ••• H-p»)- En d'autres termes, on a l'équation
SÂ*XPi+. .+iD*Xpji = (6Pxpi+...H-GD*Xp»)
+ BG»x(Fi+...+f«).
Plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité G. Soient
«a> 2/1» «t xuf y», Hf
les coordonnées rectangulaires des points A, B^-D, et
it, y, »,
les coordonnées du point M.
Le premier terme de l'équation peut se représenter en abrégé par
ïp»[(* - **)•+ {y - y»)*+ (' - hn
Développant les carrés, et faisant sortir les facteurs communs des signes Z, il vient
Les sommes
S/'A» ^P^v ^PiTk*
sont nulles, puisque le centre de gravité est à Torigine. La somme se réduit donc aux deux termes
334 THEOREMES
OU au second membre de l'équation qu'il s'agissait de dëinontrer.
On a en effet
et
Il est très facile de démontrer cette proposition par la simple géométrie. On l'établit d'abord pour un système de deux points ; puis on fait voir que, si elle est vraie pour un système de n points, elle est vraie aussi pour un système qui en comprendrait nH- 1 .
222. CouoLLAffiEs. — V Le lieu géométrique des points M tels^ que la somme^
SÂ*x/Ji-hMB*xpt+ ... + 5d'xpji,
des carrés de leurs distances à n points donnés^ multipliés respectivement par les poids de ces points^ soit constante^ est une surface sphérique décrite du centre de gravité^ G, des n points comme centre.
En effet, la somme
(5Â*x;j,+ ...+Mî)*xr»)
se décompose en deux parties : Tune,
est indépendante de la position du point M ; l'autre
ne dépend que de la distance MG. La somme est donc constante si MG est constant, ce qui a lieu pour tous les points de la sphère décrite du point G comme centre avec MG pour rayon.
2'' Le minimum de la somme
5Â"xfi+...+MÎ)*>^p,
a lieu lorsque MG=0, c'est-à-dire lorsque le point M coïncide avec le centre de gravité des n points donnés.
223. On peut rattacher ces dernières propositions au théorème g 219, en s'appuyant sur la méthode exposée g 119 pour mener des normales aux surfaces.
A, B,...D étant des points fixes, soient
rn,
les distances variables d'un point mobile M, assujetti à vérifier dbns toutes ses positions l'équation
Pi^i* +Pi*'s* -+-•••+ PnTn* = constante.
Cherchons la normale à la surface représentée par cette équation
Pour cela, formons les dérivées partielles du premier membre par rapport aux variables r^ i\j.*-r^j ce qui donnera
*ipnrn.
Nous devrons porter, à partir du point M, sur les rayons HA, MB,...MD, des longueurs respectivement proportionnelles à ces dérivées, ou proportionnelles aux produits p^r^^ p,r,,...p»r», puis composer ces longueurs à la manière des forces. La résultante aura la direction de la normale cherchée.
Or il résulte du théorème du g 219 que la résultante passe par le centre de gravité G des poids p^ p,v-Pii> placés respectivement aux points A, B,...D.
La normale passe donc par un point fixe, et par suite la surface cherchée est une sphère qui a ce point pour centre.
A la vérité, le théorème du g 219 est établi pour des points également pesants, et pour des forces représentées par les dislances r^, r,,...r,. Mais la proposition s'étend à des points dont les poids p^, p,,. . .p, soient inégaux, pourvu que les forces
536 DISTANCE DES CENTRES DES CERaES
soient représentées par les produits p^r^^ Pi^'jvP»^»- Admettons en effet que les poids PuPiv-P» ^^^^^ une commune
mesure, p, de sorte que les rapports ^ , ^ ,... 2?, soient tous
exprimables par des nombres entiers. On pourra regarder le
point A comme renfermant (2ij points matériels, le point B
(^) points,.-- le point D(^J points, tous ces points ayant
le même poids p. Le système des n points donnés sera ramené ainsi à un système de
points également pesants, auxquels on peut appliquer à la lettre le théorème du § 219 ; ce qui revient en définitive à attribuer aux points donnés leurs poids effectifs, et à représenter les forces par les produits
MAXPi. MBx;>t, -.- MDxp»,
ainsi que nous l'avons fait. La démonstration s'étendrait aisément aux cas où les poids Pi,Pf. n'auraient pas de commune mesure.
APPLICATIONS GÉOMÉTBIQUCS.
224. Soient ABC un triangle, 0 le centre du cercle drcanscrit^ et G le centre du cercle imcrit. On demande de déterminer la distance 06 de ces deux points.
Le point 0 est à des distances égales, OA=OB=OG=B, des sommets du triangle.
Le point 6 est à des distances égales, Ga = Gfr=Gc=r, des côtés du même triangle.
Plaçons en A, en B et en C des poids tels, que le centre de gravité de ces trois points soit au point G. Appelons p, p', p%
