FG C
c ""liH
ou bien
Lorsque cette condition est remplie, les abaissements simultanés des points D et M de la plate-forme sont égaux, et par suite tout déplacement infiniment petit de la plate-forme à partir de sa position d'équilibre se réduit à une translation verticale.
DE QDINTENZ. 379
Le poids Q s'abaissant verticalement de la quantité e, produit un travail positif Qe. Mais le poids P monte en même temps d'une quantité e' qu'il est facile de calculer, car c'est la quantité dont s'élève le point A quand le point B du premier levier s'abaisse de e ; donc
et par suite
Le poids P produit un travail négatif égal en valeur absolue à Pe'> et l'équilibre exige que Ton ait
Donc
(2) Q=Pxf=Px5J.
c'est-à-dire que fout se passe comme si le poids Q était tout entier suspendu au point B du levier.
Si Ton veut équilibrer le poids Q avec un poids P dix fois moindre, on fera HA=: HB x 10.
Au lieu d'iin plateau R, suspendu en un point fixe A du premier levier et chargé de poids variables, on pourrait n'employer qu'un poids unique, P, qu'on déplacerait le long de la tige HA, comme on le fait pour la balance romaine ; on peut aussi adopter une combinaison de ces deux procédés.
La stabilité et la sensibilité de l'appareil exigent encore que, lorsque le levier CA est horizontal, son centre de gravité soit situé sur la verticale passant par le point H, à peu de distance au-dessous de ce point.
Le déplacement vertical de la plaie-forme LD rend indifférente à l'équilibre la position du poids Q sur cette plateforme.
Dans la balance usuelle (fig. 222), on ajoute à l'appareil que
nous venons de décrire une poignée pour arrêter le mouvement quand il ne doit pas fonctionner, et un repère n, ri, qui permet de juger de Thorizontalité du levier CA.
Ma*
Fig. 222.
251. Nous venons de traiter la question à l'aide du théorème du travail virtuel. Nous allons la reprendre par les décompositions de force; nous retrouverons les condi-
Pig.223.
tions trouvées, et de plus nous déterminerons les tensions des tiges CE, BD, et les réactions des points fixes F et H.
Le poids Q du fardeau à peser est appliqué en son centre de gravité g ; décomposons-le en deux forces parallèles, q et^, appliquées Tune en M, l'autre en D. La première q sera égale à
OxS.
DE OUINTENZ. 881
et la seconde, (fy i
La force q se transmet au point G du second levier, qui est en équilibre sous Taction de cette force 9, de la tension T de la tige CE, et de la réaction R du point F. Donc la réaction du point F est verticale^ et égale à 9 -- T ; et la tension T est donnée par l'équation des moments, pris par rapport au point F :
9XFG = TxEF.
La force ç' se transmet directement à la tige DB, et est égale à la tension de cette tige.
Le levier AC est sollicité par la force (f appliquée en U, par la force T appliquée en C, par la force P appliquée en A, et enfin par la réaction R' du point H; on a donc
et
Ç'XBlI + TXCHzrrPxHA.
Remplaçons (f par sa valeur
MI
et T par sa valeur il viendra
QXm5'
FG __ ^ Dl FG
ou bien
^Z\ n..MIxBHxEF-fDlXFGxCH
\5) «X MDxEF -PXHâ
équation qui donne le rapport de Q à P. Les équations précédentes font connallre les tensions des tiges, et les charges R
cl R' des points fixes. L'équation (3) est plus générale que l'équation (2). On remarquera en effet qu'elle contient les quantités Ml, ID, qui définissent la position du centre de granité du fardeau sur la plate-forme, et que, par contre, nous n'avons nulle part rencontré dans celte analyse la condition exprimée par ^équation (1). Effectivement, cette équation (1) exprime que le seul mouvement possible de la plate-forme est une translation verticale, et nous savons qu'un tel mouvement rend indifférente à l'équilibre la position donnée au fardeau. Si nous tenons compte deTéquation (1), les quantités MI, DI doivent donc disparaître de Téquation (3). En effet, l'équation (i) nous montre que les produits BH x EF, FG x CE sont égaux entre eux ; on peut remplacer la fraction
par cette autre
Ml X BH X EF -h Dî X FG X CH UDXEF
(MI-l-DI)X(BnxEF) MO X EF
laquelle se réduit à BH, en supprimant le facteur commun EF, et en observant que Ml -|-DI=MD. L'équation (3) devient
QXBH=PXHA.
qui n'est autre que l'équation (2).
Les changements de position du fardeau Q ne modifient pas l'équilibre une fois établi, quand la condition (1) est satisfaite; mais ils ont une influence sur les efforts intérieurs développés dans les tiges BD et CE ; si on rapproche le fardeau du point D, on augmente la tension (f de la tige BD, on diminue la charge q du point G et par suite on diminue la tension Tde la tige BE. On peut, par exemple, placer le fardeau de telle sorte que les tensions T et 9^ soient égales ; il suffit pour cela qu'on ait la relation
OxH- 0X^X^5
DE ROBERYAL.
D'où Ton tire, en supprimant les facteurs communs.
MI
KG
'ek'
Plus oa rapproche du point M le centre de gravité g du fardeau, plus on augmente 9, plus on diminue T, et par suite plus la charge R du point fixe F augmente. Quant à la charge R' du point fixe H, elle est égale à
à mesure qu'on rapproche le fardeau du point H, ^ diminue et T augmente : Ton ne voit pas tout de suite si la somme P + 9' -t-T varie» ni dans quel sens. Mais, Pet Q étant les seuls poids qu'on suppose appliqués à la machine, le poids total P+Q se répartit entre les deux appuis extérieurs F et H, de sorte qu'on a dans tous les cas
La somme ? + ^ -{-T = W décroit donc à mesure que R augmente.
BALANCE DE RODERVAL.
252. La Balance de Roberval^ réduite à ses parties essentielles, se compose d'un parallélogramme articulé ABCD, dont
Fig. fi4.
les cAtés AD, 6C sont verticaux, et dont les côtés AB et CD sont
libres de fourner autour de deux points fixes 0 et 0' placés aussi sur une verticale ; dans la déformation de la figure, les droites AD et BC restent parallèles à la droite fixe 0(y .
En des points M et N, pris arbitrairement sur les côtés verticaux AD, BE, on attache à ces côtés des bras horizontaux ME, N(\ auxquels on suspend, en des points quelconques I et R, des poids P et Q. On demande la condition d'équilibre du système.
Appliquons le théorème du travail virtuel. Imprimons au parallélogramme une déformation infiniment petite; cette déformation s'opérera en faisant tourner d'un même angle infiniment petit AOA', DO'D', les droites AB, DC, nutour des points 0 et 0', et en déplaçant parallèlement à elles-mêmes les droites AD, BC, qui entraînent dans ce déplacement les poids P etQ. La quantité e = li, dont descend verticalement le poids P dans ce mouvement de translation, est égale à la projection, Aa, sur la verticale, du chemin AA' décrit par Textrémité A de la droite AB; de même la quantité e'=R'r, dont s'élève verticalement le poids Q, est égale à la projection verticale, B't, du chemin BB' décrit par le point B. Or les chemins AA', BB' décrits simultanément par les points A et fi de la droite AB, mobile autour de Taxe projeté en 0, sont proportionnels aux distances AO, BO; d'ailleurs, ils font des angles égaux avec la verticale, et leurs projections sur cette direction leur sont proportionnelles; on a en définitive
Mais le théorème du travail virtuel donne pour équation d'équilibre
Éliminant les quantités auxiliaires e, £', on obtient pour condition d'équilibre Téquation
PXA0 = QXB0.
AO
Cette relation ne renferme que le rapport ^ des segments
DE ROBERYAL.
dans lesquels le côté ÂB est divisé. Par conséquent, si les poids P et Q satisfont à la condition qu'elle exprime, l'équilibre subsistera quelle que soit la forme qu'on donneau parallélogramme articulé, quels que soient les points M et N auxquels on implante les bras sur les côtés verticaux, quels que soient enfin les points 1 et N auxquels on suspende les poids P et Q.
L'équilibre est donc indifférent^ puisqu'il subsiste dans toutes les positions de la figure mobile. On peut observer que le centre de gravité des poids P et Q ne change pas de hauteur par suite de la déformation du parallélogramme, et qu'il ne change pas de hauteur non plus quand on déplace les poids P et Q le long des droites horizontales HE, NF.
253. Mous traiterons aussi cette question par la méthode de la composition des forces. L'emploi des couples rend les opérations faciles. Mous considérerons séparément l'équilibre des quatre côtés du parallélogramme, en remplaçant les articulations par les forces équivalentes.
Au point H, appliquons deux forces verticales, en sens
FIg. tss.
contraire Tune de l'autre, et toutes deux égales à P. Nous pouvons substituer à la force P, agissant en I sur le système rigide formé des barres EH et AD, une force P, égale et parai-
a. — vfc. couiG50ir.
lèle^ agissant en M, et un couple (P, — P), dont le moment est égal à PxIM, et. qui tend à faire tourner de droite à gauche son bras de levier IM. Ce couple el cette force sont équilibrés par les actions qu'exercent les barres AB, DC sur les points A et D du même système. Nous pouvons décomposer chacune de ces actions en deux forces, l'une, X et X', dirigée suivant le côté AD, l'autre, Y et Y', dans les directions parallèles AO, D(y. Les deux composantes X et X\ appliquées en A et D dans la direction du côté AD, se composent en une seule l'orée, X -h X', qui équilibre la force P ; et les composantes Y, Y', parallèles, forment un couple qui doit tenir en équilibre le couple (P, — P). Donc Y= Y' et, de plus, les moments des deux couples devant être égaux, on a, en abaissant du point 0 une perpendiculaire OS sur le côté CD, l'équation
YX0S=:PXIM,
qui détermine Y.
On connaît ainsi les composantes Y, Y\ des actions exercées par les barres AO, DO' sur le côté vertical AD, et la somme X + X' des composantes verticales des mêmes actions.
On peut opérer de même pour le poids Q; on trouvera la somme X''-|-X'"=Q des composantes verticales des actions des barres obliques sur les barres verticales, et les composantes égales et contraires, Z, Z\ exercées dans les directions des côtés obliques, et données par Téquation des moments :
ZxOS = QxNR.
Considérons maintenant Téqnilibre de la pièce AB, sous Faction des forces X, Y, X", Z, changées de sens, et Téquilibre de la pièce DC sous Taclion des forces X', Y', X"', Z', égalemem changées de sens. Pour la première, les deux forces Z et Y, agissant dans la direction du point fixe 0, sont détruites par la fixité du point, sur lequel elles exercent dans la direction du côté AB une pression égale à Z — Y, Les forces parallèles, X et X"', doivent se composer en une seule, appliquée au point 0. Donc elles exercent sur le point 0, parallèlement aux côtés
DE KOBEUYAL. 387
verticaux, une action égale à X + X", et elles satisfont à la / relation
XxAO = X"XBO.
C'est la condition d'équilibre de la pièce AB. De même, la seconde piôcc DC est en équilibre si Ton a
X'XD0' = X'"XC0',
et le point (Y est sollicité, suivant le côté DC, par une forœ Z' — Y'/et suivant la verticale, par une force X'-t-X"', On a donc à la fois les quatre équations :
XXAO = X"XBO, X"4-X'" = Q, X'xD0' = X'"xCa,
ou bien
X'xA0 = X'"xB0.
Ajoutant la deuxième et la quatrième, il vient
(X -h XO X AO = (X" -h X'") X CO,
ou bien
PXA0 = QXC0,
condition qui doit être remplie pour que les quatre équations soient compatibles. Ces équations ne sont donc pas distinctes, et ne peuvent servir à déterminer entièrement les inconnues; Tune d'elles reste arbitraire. La statique seule ne permet pas en effet d'opérer le partage de la force P entre les deux points A et D ; ce partage, ainsi que celui de lu force Q entre les deux points B et C, dépend de la flexibilité plus ou moins grande des barres AB, CD, et doit rester inconnu tant qu'on ne fait pas intervenir la loi de la flexion de ces pièces.
Le déplacement des poids P et Q, et 'la déformation du parallélogramme, s'ils ne produisent aucune altération de l'équilibre une fois obtenu, modifient donc les efforts dé- Teloppés dans les barres AB, CD et les réactions des points fixes 0 et (y.
254. Dans la balance de Roberval ordinaire, employée aujourd'hui sur presque tous les comptoirs, on prend les points
0 et (y au milieu des côtés AB, CD, et au lieu de suspendre les poids P et Q à des bras ME, NF, on les place dans des plateaux faisant corps avec les tiges verticales AD et BC. L'équilibre exige alors l'égalité des poids P et Q.
L'appareil que nous venons de décrire serait un appareil indifférent; pour lui donner la sensibilité qui lui est nécessaire (§ 241), on fait en sorte (iig. 229) que le centre de gravité des fléaux AB, A'B', placés horizontalement, soit situé pour chacun sur la verticale des points 0 etO', et un peu au-dessous de ces points. Alors le poids des fléaux tend à les ramener dans
DÉTAILS DE L'AHTICULATION A'.
Pièce O'A'. Pièce AA^ plan de Vassemblage.
Fig. S29.
la position horizontale s'ils s'en écartent» et à limiter la déformation prise par le parallélogramme sous l'action de poids
DE RODERVAL. S8d
inégaux placés dans les deux plaleaux. On a soin aussi de réduire autant que possible les frottements aux quatre articulations du parallélogramme et aux points fixes 0 et <y; on y parvient en substituant des arêtes vives aux axes de rotation. Les figures 226, 227, 228 représentent ce mode d'assemblage, qui est admissible seulement lorsque les charges sont très limitées. La figure 229 représente la balance complète.
ÉQUIUBREDES P0RTS-LEVI3.
255. PonUevis à flèche. — Le pont-levis à flèche se compose de deux parties : un tablier OA, qui est mobile autour d'une charnière horizontale projetée en 0, et qui s'appuie à son autre extrémité A sur une feuillure G, pratiquée dans le couronnement du mur M ;
Et une flèche BD, mobile autour d'un axe fixe projeté en (y, parallèle à la cliamière 0; cette flèche porte un contre-poids Q, dont nous déterminerons plus loin le poids et la position.
La flèche est réunie au tablier au moyen d'une double chaîne projetée en AB; on dispose les points d'attache, A et B, de cette chaîne, de
rôn.
manière que les droites
OA, (XB soient égales et / / v^' \
parallèles; la chaîne a / ^k^
une longueur AB égale à
la distance 00' des cen- ^j^îj? ^
très de rotation des deux ^ |
parties mobiles, de sorte ^
que dans toutes les posi- ^*^' '^'
lions qu'elle prend quand on relève le tablier, la figure OO'BA
reste un parallélogramme.
On peut placer le contre-poids de manière que le centre de gravité de tout le système soit immobile : le pont-levis est alors en équilibre dans toutes ses positions.
Soit G le centre de gravité du tablier, y compris la moitié
inférieure des deux chaînes projetées en AB, et soit P le poids de cette partie du système. Soit de même G' le centre de gravité de la flèche, y compris le contre-poids Q et la moitié supérieure des deux chaînes ; soit F le poids correspondant.
Supposons que nous ayons donné au contre-poids Q un poids et une position tels que le centre de gravité G' de la flèche soit situé sur une droite CKG' parallèle à OG» et qu'en outre on ait la proportion
