BILANCE A RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
262. Soit 0 l'origine d'un système d'axes rectangulaires OX, OT (fig. 240). Construisons les lignes représentatives des équations
La première représente une ligne droite OB, la seconde une parabole du second degré O0B, la troisième une parabole
D. — née, COLLIONON .
403 BAUNCE
cubique (>)fB« la quatrième une parabole du quatrième degré OSB. On pourrait continuer indéfiniment cette construction pour les paraboles des degrés supérieurs; nous nous arrêterons dans cet exemple au quatrième degré.
ol
* xsN^V
Toutes ces lignes passent par les points 0 et B, ce dernier correspondant à Tabscisse 0A=1 .
Traçons de l'autre côté de l'axe les lignes Oa'B', Og'B', Oy'B\ OB'B", représentées par les équations :
Imaginons que des poids soient suspendus en des points assujettis à glisser librement le long des lignes ainsi tracées, et qu'on dispose une règle MM', perpendiculaire à l'axe OX, de manière à ranger à la fois tous ces points sur une même ligne droite. L'appareil, supposé mobile dans le plan vertical autour du point P où la règle coupe Taxe OX, pourra servir à résoudre une équation du troisième degré dont oo donne les coefficients numériques. Soit Téqualion
Oq** + «â** H- «2* 4- ^s = 0.
On suspendra un poids égal à a, en valeur absolue, au point a si a, est positif, au point a' si a, est négatif.
DE BËRARD. 405
On suspendra un poids égal à a^ en valeur absolue au point 0 ou au point ^% suivant que a, est positif ou négatif.
De même, on suspendra un poids égal à ±: a^j au point y ou au point y, suivant le signe de a^ ; en 8 ou en d', un poids égal à db a^.
On fera ensuite osciller le fléau M'M autour du point P ;
OP s'il reste en équilibre dans sa position horizontale^ ^^TTà
sera racine de Téquation.
OP En effel, soit qT = ^- On aura
AB '^^ ÂB-^-
L'équilibre ayant lieu, Téquation des moments est satisfaite, et l'on a par conséquent, en tenant compte des signes,
Supprimant le facteur 6, on reconnaît que a;=0 est racine de la proposée.
On fera glisser successivement le système de lignes OBB' le long de Taxe OÂ, sans déplacer la règle MM', ce qui fait passer le nombre 0 par tous les états de grandeur entre 0 et l'unité ; les oscillations du fléau autour du point P indiquent les positions d'équilibre, c'est-à-dire les racines de la proposée comprise entre ces deux limites.
On saura donc si la proposée a des racines réelles positives et moindres que l'unité, et quelles sont ces racines. On peut toujours ramener la résolution d'une équation à la recherche des racines entre 0 et i» en changeant successivement x en
— «, en - et — .
404 BALANCE DE V. LAUNNE.
Telle est la disposition imaginée par Bérard. Elle était peu praf ique« parce que les lignes qui guident les points d'attache des poids mobiles se rapprochent et se confondent près du point 0 et près des points B et B'. La balance de Bérard n'a jamais été exécutée.
M. Lalanne a modifié l'appareil, et en a fait une machine possible. L'artifice auquel il a eu recours pour séparer les unes des autres les lignes OaB, O0B,..., consiste essentiellement à substituer aux lignes tracées par Bérard les lignes
a, ^, Y9 ^9*** ^^^"^ d^s nombres arbitrairement choisis, qui permettent d'écarter autant qu'on le veut les diverses lignes directrices.
Si l'on suspend, en des points de ces lignes correspondants à une même abscisse Xj des poids a,, a,, a^ a«, la somme des moments devient
elle diffère de la valeur qu'elle aurait dans l'appareil de Bérard de la quantité
û,a 4- fli/S 4- fliV 4- «0*-
Or cette quantité reste constante dans tous les essais qu'on a à faire pour résoudre Téquation. On n*aura donc qu'à disposer d'un ou de plusieurs contre-poids, placés à des distances fixes du point P, pour annuler cette somme, et la balance fonctionnera alors comme si tous les points d'attache étaient réellement ramenés sur les courbes de Bérard.
M. Lalanne a construit d'après ce principe une balance qui permet de résoudre les équations du septième degré.
