DE LA VIS

Menons aussi la tangente à Thélice au point M. Au moment où le glissement \a se produire, la réaction totale, exercée sur le point M par Técrou, se décompose suivant les deux directions que nous venons de définir, et nous donne une composante normale, N, et une composante tangentielle ou frottement, /n. Ces deux forces font le même angle i avec les droites BIV, HH, menées par le point M dans le plan tangent au cylindre qui contient l'hélice ÂB, l'une parallèlement à Taxe 0(y, l'autre perpendiculairement à la première. Nous pouvons les décomposer chacune suivant ces deux directions ; les composantes de la force N seront Ncos i suivant MY, et Nsini suivant MH; les composantes fK seront de même /Ticosi suivant MH, et /N sin i suivant le prolongement de MY. Nous aurons donc suivant MY une force Ncosi — fNsint, et suivant MH une force N sin i + fN cos t .

Nous pouvons faire la même décomposition en tous les points de l'hélice ÂB. En chacun de ces points, nous trouverons de même deux composantes parallèles à 00', dont la somme est N cost — N/'sini, ou N (cosi — f sini), et deux composantes perpendiculaires à l'axe 00\ et ayant par rapport à cet axe un moment total égal à (N sin i -H /"N cos i) r =Nr (sin i + Z* cosi). Faisons la somme de toutes ces forces longitudinales, et la somme de tous ces moments pour toute la portion d'hélice engagée dans Técrou. Nous trouverons pour la somme des composantes parallèles à OO' Texpression

(cost — /"sin i)SN,

et pour la somme des moments

r(8in»-H /'costjZN.

Ëcrivons les équations de l'équilibre de la vis, qui sont au nombre de deux : Téquation des forces estimées suivant Taxe, et Téquation des moments autour de Taxe , les quatre autres équations sont satisfaites d'elles-mêmes en vertu de nos suppositions. Nous aurons

P = (cost — /-sin i)2N, 2F6 = r(sini + /-cosi)SN.

Éliminant ZN entre ces deux équations, on obtient la rela* tion entre les forces P et F :

Pr C08Î — fslni

2F6~sint+/'cos»*

Remplaçons f par tang^, et multiplions haut et bas par cos 9 ; il vient

Les forces P et F étant toutes deux positives, la cotangente de Tangle t + 9 est également positive, et par suite l'arc i+?

est inférieur à ^.

On a donc

On remarquera que la formule obtenue est celle du glissement sur un plan incliné (§ 282), lorsqu'on emploie une force horizontale 2Ffr à faire monter un poids Pr le long de la ligne de plus grande pente.

295. Supposons que le mouvement de la vis s'opère en sens contraire, c'est-à-dire que, malgré l'action du couple 2Fb, la vis remonte dans son écrou sous une pression égale à P exercée de bas en haut à son extrémité. Pour passer du premier cas au second, il suffit de changer 9 en — f , carie frottement change de sens. On aura donc

D'où Ton conclut t > 9, pour que les forces F et P soient encore positives.

Pour que les deux mouvements soient également possibles, il faut qu'on ail

ce qui suppose ç< 7-