Soient 0, (y, deux arbres tournants parallèles, entre
lesquels un engrenage établit une transmission de mouvement.
Soient OA et O'A les rayons des circonférences primitives, et BE, CD, les profils en prise au poifilP. La droite AP est normale à la fois aux deux courbes BE, CD (I, § 215). Appliquons en m, tangentiellement à la circonférence primitive OA , une force F agissant dans le sens du mouvement, et en m', tangentiellement à la
FROTTEMENT DAKS LES ENGBENAGGS. 4fK
cil conférence O'A, une force résistante F', Proposons-nous de chercher les conditions d'équilibre des forces f et F', en tenant compte du frottement qui se produit en P, lorsque les deux profils sont sur le point de glisser l'un sur l'autre.
La réaction mutuelle des solides en contact au point P peut se décomposer en deux forces; l'une normale, l'autre tangentielle aux profils; cette dernière force est le frottement. Soit H la réaction normale de la roue CK sur la roue 0 ; le frottement sera égal à /H, et sera dirigé en sens contraire du mouvement Les forces H' et /H\ respectivement égales et contraires aux forces H et fH, seront les réactions de la roue 0 sur la roucO*. On peut remarquer que le frottement fW subi par la roue 0' agit dans le sens du mouvement.
La roue 0 est en équilibre sous l'action des forces F, D, /H, et des réactions de Taxe 0; l'équation d'équilibre s'exprimera en égalant à zéro la somme des moments de ces forces par rapport à Taxe; oo aura donc, en abaissant du point 0, sur les directions de H et de /II, les perpendiculaires OK, 01 :
Px0iii = Hx0K4-/'Hx0I.
De même, en abaissant du point 0' sur les directions de H' et de fW les perpendiculaires OT, 01' :
H' X O'K' + ^fl' X OT = F' X O'iii'.
Or H' et H sont des forces égales. Multipliant membre à membre, et supprimant le facteur commun H, il vient pour l'équation d'équilibre
PXOmXlO'K' + /xO1') = P'XO^'Xl0K + ^X0n.
Donc
p OK-h^xOI^^ OW
T'"^ Ow ^ ôïïF+TxôT'* Soit
OA = R s=Om,
angle O'AP s= «,
AP=p.
Faisons enfin
/«tangf.
u. — afc. GouMiiai. 80
406 FROTTEMENT
Nous pourrons remplacer OK par R siu a, 01, qui est égal à AK+AP, par Rcosa-f-p, O'K' par R'sina, et OT par R'cosa — p; il viendra
F RsinaH-tangy(Rc(»«-hp) R[
p— H R'sin«-+-iangy(R'cos*— p)
sina + tan^f cosa+g-tangf sin (« + 5>) + ^ sin 9 sina + tangy cosa — l^tan^f 8in(a + f)— £,siny
ou encore, en considérait, au lieu des forces P et F, les moments de ces forces par rapport aux axes 0 et 0",
FR R sin (a + y) -^ y sin g
F'R' "~ H'siii (« -h f ) — p sin f *
Si le frottement était nul, on ferait 9 = 0 et la relation se réduirait à F = F'.
L'équation générale ne contenant que les moments des
forces par rapport aux axes, on peut substituer aux forces P
et F', tangentes aux circonférences primitives, d'autres forces
ayant des moments égaux.
F On voit que le rapport ^, est toujours un nombre fini, assez
voisin de l'unité, lorsque la dent^ DE, de la roue menante pousse le profil du creux, CD, de la roue menée, et lorsque la distance AP n'est pas trop grande. En effet, la réaction totale développée au point P est la résultante. S, des forces H et /H pour la roue 0, et la résultante S' des forces H' et fW pour la roue O'. La direction SS' fait avec la normale commune HH' un angle égal à Tanglc du frottement; or la direction HH'fait généralement avec la ligne des centres OO' un angle assez voisin de l'angle droit, 75* par exemple {I, g 231, T); il en résulte que la direction SS' est sensiblement perpendiculaire à 00'; il est toujours possible de trouver pour une , telle direction, pourvu qu'elle passe suffisamment prés du point A, la valeur des forces S qui font équilibre aux forces données F et F'.
299. 11 en serait autrement si c'était la roue O' qui menât la roue 0, le creux CD poussant la dent BE. Dans ce cas, les
Digitizi
DâRS les engrenages. 467
frottements changeraient de sens et, par suite, la réaction totale, au lieu de se rapprocher de la direction perpendiculaire à 00', se rapprocherait de la ligne des centres, et pourrait passer par le point 0 ou même au delà de ce point. Dans ce cas, la transmission ne serait plus possible et un arc-boutement se produirait.
La figure 283 rend compte de ce cas particulier.
La force F' est mouvante, et la force F résistante. Dans le mouvement commun des deux roues, le point de contact P des deux profils en prise se déplace le long des arcs PB, PC , et parcourt dans un même ^.^ ^^
temps des espaces inégaux le long de ces arcs; il est facile de voir qu'il parcourt un plus grand espace sur l'arc PB que sur l'arc PC, de sorte que le glissement mutuel tend à ralentir la roue OA qui porte la dent, et à accélérer le mouvement de la roue O'A qui porte le creux. Le frottement subi par celte seconde roue est donc moteur, et dirigé dans le sens /H', tandis que l'autre roue subit un frottement résistant, dirigé dans le sens fR. Or la résultante des forces H et /H est une force PS qui passe par le centre 0 de la roue, et qui ne peut contribuer à équilibrer la force F. Dans ce cas, quelle que soit la force F' qu'on applique à la roue O'Â, cette force ne pourra déterminer la rotation de la roue 0, et elle aura pour unique effet de charger l'axe de cette roue.
L'arc-boutement peut donc se produire sans qu'il y ait de défauts dans la forme des profils, lorsque le contact entre les profik en prise commence à une trop grande distance en arriére de la ligne des centres. On a vu en cinématique {l 227) comment on évite ce danger par l'échanfreinement des dents.
La formule rend compte de cet effet; il sufQt d'y changer
468 FAOTTEMENT
9 en — 9, pour exprimer que la direction du frottement a changé de sens. Elle devient alors
FR R8in[a — y) — pslrif
rR'^R'8in(a— 9)+psinf»'
F'R' est maintenant le couple moteur et FR le couple résistant. Ce dernier doit être nul lorsqu'on a Rsin(a — 9)=psin9. Il est facile de le vérifier : dans le triangle ÂOP, l'angle
AOP = O'AP — APO = «— ,»;
Rsin (a — <p) est la perpendiculaire abaissée du point A sur la direction OP, longueur égale aussi à
APsinAPOscpsiny.
Dans ce cas, le couple moteur F'R' appliqué à la roue 0' est impuissant à faire tourner le système.
