DES TRANSVERSALES. M
ABC en trois points a, b, c, et détermine sur chaque côté deux segments^ savoir :
aB, aC sur le côté BC, 6G, bX sur le côté AG, ck, cB sur le côlé AB.
Cela pose, le produit des trois segments qui n^ont aucune extrémité commune^ aCxbkx cB, est égal au produit des trois autres j aBxbCxck.
Aux extrémités B et C du côlé dont le prolongement rencontre la transversale, appliquons deux forces parallèles et de sens contraires, F'etF^ dont nous déterminerons tout à Theure le rapport.
La résultante de ces deux forces sera appliquée quelque part sur la direction BC prolongée.
Au point A appliquons deux forces égales et contraires, F et — F; l'introduction de ces deux forces, qui se détruisent, ne changera rien à la résultante du système des forces F' et F''; pour trouver celte résultante, on peut d'abord composer les forces F' et F» ensuite composer les forces F" et — F, enfin composer les résultantes partielles obtenues dans ces opérations.
La force F est arbitraire; nous pouvons donc faire en sorte qu'on ait
F'""cA'
la résultante de F et de F' passe alors au point c.
Prenons ensuite la force F" de manière que la résultante des forces F' et ^F passe au point b; il faudra pour cela qu'on ait Tëquation
F ~èC*
La résultante des forces F et F' passe au point c, et la résultante des forces — F et F" passe au point b. La résultante de ces deux résultantes, c'est-à-dire la résultante des forces F' et F'', est donc appliquée en un certain point dq la direction cb.
52 TnËORËME DES TRANSVERSALES.
Or elle est aussi appliquée en un certain point delà direction BG; donc enfin elle est appliquée au point a, intersection de ces deux directions.
Il en résulte l'égalité
r flC
Multiplions membre à membre ces trois égalités, il viendra
F ..F". .F' ,„cB 6A tfC
ou bien
aBx&GXeAcsaCxcBxH»
ce qu'il fallait démontrer.
La réciproque résulte évidemment de la proposition directe.
La résultante partielle appliquée en c est égale à F+F', et la résultante partielle appliquée en b est égale à F+F'; de sorte que la statique nous donne aussi
F' + f ah F"4-F"~flc'
Mais des deux premières équations on tire
F-f-F^ cB-4-cA AB F "" cB "" cB'
F-fF/^6A4-6C AC F ■"• bC ""W*
Divisant, il vient et par suite ou bien
ABx6Cx«c = fl6xACxcB,
équation qui n'est autre chose que l'application du théorème au triangle AcJ, rencontré par la transversale recliligne BCa.
F-HP AB ^c F-HF"""AC'^cB'
