L'engrenage hélicoïdal est analogue & la vis sans fin

Vengrenage sans frottement de White ne mérite pas complu tement son nom. Les deux roues tournent autour d'axes parallèles. Leur mouvement relatif est donc une rotation autour de la génërairice commune aux deux cylindres primitifs. Cette rotation élémentaire peut se décomposer en deux autres, l'une autour d'une droite contenue dans le plan tangent, et menée tangentiellement à la dent de l'engrenage; l'autre, autour d'une droite également contenue dans le plan tangent, mais normale à la surface de la dent.

La première rotation s'opérani autour d'une droite du plan tangent commun aux deux dents en contact, ne donne lieu à aucun frottement ; mais la seconde, normale à ce plan tangent, produit un pivotement analogue à la rotation d'un arbre vertical tournant sur une crapaudine ; il en résulte un travail du frottement sur toute la région du contact (g 279). Ce travail n'est négligeable que dans les engrenages soumis à de très petites forces, parce qu'alors la surface de contact créée par le tassem^ent des matières est extrêmement petite.

Dans Vengrenage hyperboloîde^ il y a la fois rotation relative des surfaces autour de la génératrice de contact et glissement le long de cette génératrice. Le premier mouvement relatif ne produit aucun travail appréciable lorsque les dents sont suffisamment nombreuses ; mais le glissement longitudinal entraîne un travail du frottement.

EMBRAYAGE A CÔNB DB FRICHOZI.

306. Le frottement peut être employé pour transmettre le mouvement de rotation d'un arbre 0 à un arbre (f situé en prolongement du premier.

A CONE DE FRICTION.

Sur le premier arbre on monte un coin A de forme conique, qui est susceptible de recevoir des déplacements parallèles à Taxe 0 , et qu'on manœuvre à Taide d'une fourche. Une clavette C assure l'entraînement du cdne quand Tarbre reçoit un mouvement de rotation.

L'arbre 0' porle un renflement B, dans lequel on ménage une cavité présentant exactement la forme du cône A, de sorte que Ton peut, en se servant de la fourche, faire pénétrer le cône A dans le creux de l'arbre B.

Si les arbres 0 et 0' élaient en repos, la pression exercée sur le cône A par la fourche produirait dans le creux de l'autre arbre Teffet d'un coin, et le frottement mutuel des parties en contact serait dirigé suivant les génératrices du cône, puisque c'est dans cette direction que l'enfoncement tend à s*opërer. Mais lorsque Tarbre 0 tourne en entraînant l'arbre (y, la tendance au glissement du système B sur le système A n'est plus dirigée suivant les génératrices du cône ; elle est dirigée suivant les sections circulaires de ce cône, à angle droit sur sa direction primitive. Les frottements prennent cette nouvelle direction. Cherchons dans celte hypothèse une limite

de l'effort utile transmis de

l'arbre 0 à l'arbre 0'.

Soit N une des réactions normales du cône creux sur le cône plein, en un point de la ligne moyenne I de ce second cône. Appelons i langle delà génératrice mnp avec Taxe 00'. Les frottements étant normaux à Taxe, nous n'avons pas à en tenir compte en projection sur 00'.

Soit P la pression exercée par la fourche. L'équilibre du cône A exigera qu'on ait l'équation

p = SN sint =r sins SN.

Le frottement correspondant à la pression normale N a pour limite supérieure /N, et son moment par rapport ù l'axe O'

plJL

Fig. «87.

a pour limite /Tlxr; en désignant par r le rayon moyen du cône, IR. La somme des moments de tous ces frottements par rapport à Taxe a donc pour limite supérieure

ou bien

8int

Si l'arbre 0' a à vaincre un couple résistant Qg, la puissance pourra être appliquée à l'arbre 0, moyennant qu'on exerce sur le cône à Taide de la foui'che A une pression P satisfaisant à Tinégalitë

ce qui donne pour limite inférieure de P,

La force P peut être réduite à volonté en augmentant le coefficient du frottement, le rayon moyen du cOne de friction, et en diminuant Tanglei. Pour une valeur suffisamment petite de i, et des valeurs suffisamment grandes de /* et de r. on pourra donc réaliser Tembrayage avec une force P insignifiante.

BÊStSTANCS AU ROULEHCITT.

507. La résistance au roulement j appelée aussi, mais improprement, frottement de roulement ou frottement du secondordre^ est un résultat de la déformation qui se produit toujours au contact du corps roulant et de la surface sur laquelle il se meut. Cette déformation suit le point ou Tarête de contact des deux systèmes matériels, s'effaçant en partie aux points pour lesquels le contact a cessé. Si, par exemple, le cylindre 0 se meut dans le sens de la flèche /*, en roulant sur le plan MM' autour de Tarête géométrique projetée en A, le contact du

Fig. 28a.

kV ROULEMENT. 481

cylindre avec le plan, au lieu d'être, comme on le suppose en géométrie , concentré sur une ligne sans épaisseur, s'étend à une surface de largeur finie, AB, située tout entière en avant du point de contact géométrique A, dans le sens où le mouvement du cylindre tend à comprimer le terrain sur lequel il roule; en arrière du point A, le plan ne conserve qu'une partie du tassement qu'il avait éprouvé au moment du passage du cylindre, de sorte que le contact n'a plus lieu de ce côté. C'est ainsi que le passage d'une roue de voiture sur une route empierrée laisse une trace visible, qui se forme en avant du point de contact géométrique de la roue et du sol par la compression des matériaux de la chaussée.

La réaction du plan MM' sur le cylindre, résultante des pressions développées de A en B, passe en un point C situé un peu en avant du point A; elle se décompose d'ailleurs généralement en deux forces, l'une CN, normale, l'autre CT, parallèle au plan; cette dernière représente le frollement de glissement. Pour tenir compte de la résistance au roulement, il suffit de faire passer la réaction normale CN à une distance 8, toujours très petite, en avant du point A.

Cette quantité 8 a été déterminée par les expériences de Coulomb, confiranées depuis par celles de Morin. Elle dépend de la nature des corps en contact, et est indépendante du rayon du cylindre. Cette loi n'est pas d'une vérité absolue ; car la distance 8 est nécessairement plus petite que le rayon du cylindre, et par suite 8 doit diminuer quand le rayon diminue lui-même. Dupuit a proposé une nouvelle loi qui satisferait à cette condition, et d'après laquelle 8 serait proportionnel à la racine carrée du rayon. Mais toutes les fois que les corps en contact ont une dureté assez grande, et que le rayon du cylindre n'est pas très petit, la loi de Coulomb parait plus voisine de la réalité que la loi de Dupuit.

n. — ■#.€. COLUGKO]!.

SI

RESISTAKGB

Fig. 289.

308. Les expériences de Coulomb consistaient à faire rouler un cylindre de bois dur, de gaîac ou d'orme, sur un madrier de chêne.

Soit MM' le plan de roulement ; AB la région du contact ;

C le point d'application de la résultante des pressions développées sur cette région ;

N et T les composantes, normale et tangentielle, de la résultante des pressions ;

F une force appliquée au point D du diamètre AO ;

DH=X et DL = Y les composantes de cette force suivant une normale au plan et une parallèle ; P le poids du cylindre.

Ëcrivons les trois équations d'équilibre des forces appliquées au rouleau. Nous aurons

et, prenant les moments par rapport au point A, et appelant AD = ft,

Nous négligeons dans celte équation le moment de la force T par rapport au point A, parce que la distance de celle force au point A est extrêmement petite.

La force T est le frottement de glissement du rouleau sur le plan MM'. Pour qu'il y ait roulement et non glissement, il iaut et il suffit que l'on ait

T<(P^.Y)/; ou

Des deux dernières équalions on lire

XA=(P-i.Y)a,