DB H. CHASLES

que M. Chasles a présenté son Ihéorëme. On en déduit un moyen géométrique de trouver d'une infinité de manières, sur une ellipse donnée, deux arcs dont la difTérence soit rectifiable.

Supposons en second lieu que le fil qui entoure l'ellipse puisse être allongé à volonté, et cherchons le lieu des points M tels, qu'en passant d'un point M à un autre point M', les deux brins qui aboutissent à ce point soient allongés de quantités égales.

Supposons les points M et M' infiniment rapprochés : la quantité dont s'allonge le brin MP, quand, sans cesser d'être tendu et sans glisser sur l'ellipse, il va aboutir en M' suivant le tracé P^M', est égale à la projection de MM' sur la direction de MT^. De même le brin MP' s'est allongé d'une quantité égale à la projection de MM' sur M'P/. L'égalité des allongements implique donc Tégalitë des angles P^M'M, P/M'M, et par suite la direction de l'élément MM' est bissectrice de l'angle des deux brins.

Les directions MP, MP' font, d'après le lemme, des angles égaux avec une ellipse homofocale à l'ellipse donnée, passant par le point M. Donc MM' est normal à cette ellipse, et le lieu cherché est une trajectoire orthogonale des ellipses qui ont F et P pour foyers ; c'est par suite une hyperbole HK, homofocale à l'ellipse donnée, et la coupant elle-même à angle droit au point I.

La longueur MP d'une tangente à l'ellipse, comprise entre le point de contact P et l'hyperbole, surpasse l'arc PI, mesure sur la courbe, de l'intégrale /(bcos<p, prise sur l'hyperbole entre le point I et le point M ; ds représente l'arc élémentaire mm' d'hyperbole, et 9 l'angle que sa direction fait avec la tangente mp menée à l'ellipse à partir du point m.

Cette intégrale est la même des deux côtés de l'hy-

Hg. 326.

548 FROTTEMENT D'UH FIL

perbole, puisque rélëment ds fait des angles égaux a^ec les deux tangentes ; les difTérences MP — arc PI, MF — arc VI sont donc égales, et la différence des ares d^ ellipse PI, P'I est égale à la différence des tangentes MP, MP.

FROTTEMENT d'oN FIL SUR UNE SURFACE.

344. Lorsque les réactions de la surface sur laquelle un fil est tendu ne sont pas normales, la courbe d'équilibre peut n'être pas une ligne géodésique. Il y a cependant un cas où il en est encore ainsi : c'est celui où le fil est sur le point de glisser stir la surface k long de la ligne qu'il y dessine.

Considérons un arc infiniment petit, AB, du fil appliqué sur la surface. Cet arc étant sur le point de glisser dans sa propre

direction AB, le frottement exercé par la surface est une force fN égale au produit de la réaction normale N par le coefficient de frottement, et dirigée tangentiellement à AB, en sens contraire du glissement qui tend à se produire.

L'arc AB est en équilibre sous Taction des forces N, /TI, et des tensions T et T' développées à ses deux extrémités. Les forces fN et N se composent en une seule force R, appliquée en un point C de l'arc : les trois forces R, TetT^se faisant équilibre, sont dans un même plan, qui est le plan osculateur de la courbe AB, puisqu'il contient les deux tangentes AT, BT'. Or la force /n, tangente à AB, est située dans le plan osculateur; par suite, la force N est aussi située dans ce plan. Donc le plan osculateur de Fore AB est normal à la surface^ et la courbe AB est une ligne géodésique. Les tensions T et T' ne sont plus égales , et il est facile de voir que T' surpasse T de la composante fN. L'angle RCN est égal à l'angle 9 du frottement. L'angle RCB,

Fig. S27.