THÉORÈHE SUR LES ARCS D ELLIPSE

342. Lemhe. — Si d^un point extéiieur M, on mine deux tangentes MP, MP à une ellipse^ les angl€sm¥,V%^q^e font les tangentes avec les droites menées du point M aux foyers Y et F sont égaux.

Pourconstruire la tangenteMP, il suffit de décrire un cercle du point F comme centre avec un Fig. 324. rayon égal au grand axe , puis

de chercher l'intersection A de ce cercle avec un arc décrit

TUËORËMES DE H. GHASLES. 545

du point M comme centre avec MF pour rayon. La tangente cherchée est la droite MP, perpendiculaire à FA. Joignant F'A, on aura le point de contact P en cherchant Tintersection de la droite F'A avec la tangente MP.

La seconde tangente HP s'obtiendrait en faisant usage de la seconde intersection des mêmes arcs de cercle. Mais on peut aussi la construire en décrivant de F comme centre, avec le grand axe pour rayon, un cercle que l'on coupera par un arc décrit de M comme centre avec un rayon égal à MP ; l'intersection donnera le point A\ et la tangente cherchée sera la perpendiculaire abaissée du point M sur la droite A!¥\

Les tangentes MP, MP senties bissectrices des angles FMA, FMA'. Pour prouver légalité des angles PMF, FMP, il suffit donc de prouver l'égalité des angles doubles AMF, A'MF\ ou, en ajoutant de part et d'autre Tangle FMP, l'égalité des angles AMP, A'MF.

Or ces deux angles appartiennent à deux triangles AM¥\ FMA', qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun, savoir : AM=MF,AP=AT=le grand axe, MF' = MA'; ils sont donc égaux, et le lemme est démontré.

Corollaire. — Si Ton considère l'ellipse ayant pour foyers les points F et F' et passant par le point H, la tangente à cette ellipse au point M, faisant des angles égaux avec les rayons vec^ teurs MF, MF', fait aussi des angles égaux avec les tangentes MP, MF, menées du point M à l'ellipse homofoeale PP.

343. Théorèmes de M. ChaslesK — Soit AB une ellipse, F et F' ses foyers (fig. 324). Imaginons un fil continu, inextensible et de longueur donnée, qui fasse le tour de l'ellipse, en s'appuyant sur la courbe, sauf dans la région PMP, où il dessine deux tangentes PM, PM aboutissant en un point H. On

* Compieê rendu» de VAcadimi/e de$ Scienceê, 1845.

n. — Mie. GOuniH». 95

î^iO THÉORÈMES

demande le lieu décrit par un crayon qui serait placé au point M de manière à tendre toujours le fil.

Cherchons la tangente en M au lieu demandé. Prenons sur la courbe cherchée un point M^ infiniment Toisin du point H, et soit MM^=d«. La longueur totale du fil ne change pas quand le crayon passe de M en M^ ; soit 0 l'angle que MP fait a^ec la direction de Télément MM^ , et 0' l'angle que MF' fait avec le même élément pris dans l'autre sens. Dans le passage de H en H^, le brin P^PM se raccourcit d'une quantité égale à la projection de MM^ sur la direction de PM, ou de ckcosO; le brin P'M s'allonge en même temps de la projection du même arc sur la direction de P'M, c'est-à-dire de dscosV. La longueur du fil restant constante, on a

donc 0=0% et la tangente au lieu cherché fait des angles égaux avec les tangentes MP, MF à lellipse AB.

11 résulte du lemme précédent que le lieu RS décrit par le point M est une ellipse homofocale à l'ellipse donnée; par suite, étant données deux ellipses homofocaUs^ si Sun point M de l'ellipse extérieure on mène les deux tangentes MP, MF à Vellipse intérieure^ la somme des tangentes et de Varc embrassé entre les points de contact^

MP + HP'+arcPAGBF,

est constante.

On peut ainsi décrire Tellipse en tendant avec un crayon un fil de longueur constante qui entoure une portion du périmètre d une ellipse déjà tracée ; cette méthode est une généralisation de la méthode ordinaire dans laquelle on fait usage des foyers. La droite finie FF, pour tous les points, N, de laquelle la somme des distances NF-^NF' est constante et égale à FF', peut en effet être assimilée à une ellipse infiniment aplatie, qui aurait les points F et F pour foyers.

La somme &iP4-MP'-t*PCP' étant constante, si Ton en retranche le périmètre entier de Tellipse, le reste, égal à MP -f- MP' — PDP', est aussi constant» et c'est sous cette forme

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