D'UNE FORCE

Fig. 40.

de nombreux exemples de ces quantités complexes qui résultent de la multiplication de facteurs représentant des quantités de différentes natures.

46. Soit AF (fig. 40) une force appliquée en un point A, et 0 un point fixe pris arbitrairement dans l'espace. Par ce point menons un axe OZ, perpendiculaire au plan conduit par la force AF et le point 0. Le moment, AFxOP, de la force F par rapport au point 0 est identique au moment de la force F par rapport à Taxe OZ ; il est égal au double du triangle OAF.

Proposons-nous de trouver le moment de la force F par rapport à un autre axe OS mené par le point 0.

Il sufGra d'imaginer par ce point un plan RR' perpendiculaire au nouvel axe, et de projeter le triangle OAF en Oaf sur ce plan. Le moment cherché est le double de Taire du triangle Oaf.

Mais prenons sur l'axe OZ, à une échelle arbitraire, une longueur OB égale au produit AFxOP, c'cst-fi-dire représentant à l'échelle le double de Taire du triangle OAF. L'axe OS fait avec Taxe OZ un angle SOZ égala Tangle du plan RR' avec le plan OAF, de sorte que, si nous projetons la longueur OB sur la direction OS, nous obtiendrons une longueur Ob qui représentera, à la même échelle, le double de Taire du triangle Oaf^ c'est-à-dire le moment de la force F par rapport à Taxé OS. On voit donc qu il sera facile de trouver le moment d'une force F par rapport à tel axe OS qu'on voudra, connaissant le moment de cette force par rapport à un point 0 pris sur cet axe. Il suffit, en effet, dé mener par le point 0 une perpendiculaire OZ au plan conduit par la force F et le point 0, et de prendre sur cette droite, à partir du point 0, une longueur OB, représentant à une échelle arbitraire le moment de la force F par rapport au point 0. Le moment de la force F par rapport à Taxe OS sera représenté, à la même échelle, par la projection sur OS de la

longueur OB, et Ton aura Mo,F=Mo,Fxcosa, a étant l'angle ZOS. Pour définir le sens du moment, on peut, comme nous Tavons indiqué en cinématique (g 163), mener Taxe OB de telle sorte, que l'observateur placé les pieds en 0, la tête en B, voie la force F solliciter son point d'application à tourner autour du point 0 dans le sens des rotations positives. La droite OB aura alors une direction, un sens et une longueur bien déterminés.

La construction géométrique du moment par rapporta Taxe OS fait voir :

Que Oft est toujours moindre que OB, de sorte que le moment d^une force par rapport à un point est en valeur absolue le maximum des moments de la force par rapport à tous les axes qu'on peut mener par ce point;

Que les moments de la force F par rapport à tous les axes OS, qui font un même angle, ZOS, avec Taxe OZ, sont égaux entre eux ;

Que les moments sont nuls par rapport à tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ, ce qu'on savait déjà, puisque tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ est contenu dans un plan passant par la force F;

Qu'enfin les extrémités b des droites finies Ofr, qui représentent la grandeur des moments par rapport à leurs propres directions, sont situées sur une surface sphérique, décrite sur OB comme diamètre. En effet, si on fait mouvoir l'axe OS dans le plan BOS, le point i», projection du point B sur la direction variable OS, décrira dans ce plan une circonférence dont OB sera le diamètre, et cette circonférence, en tournant autour de OB, engendrera dans l'espace une surface sphérique qui sera le lieu de tous les points b.

47. Ces préliminaires posés, venons à la démonstration du théorème des moments, qui consiste dans l'énoncé suivant :

Le momenty par rapport à une droite XY, de la résultante de deux ou de plusieurs forces^ toutes parallèles ou toutes concourantes, est égal à la somme algébrique des moments de chacune de ces forces par rapport à cette droite XY.