Si une ou plusieurs articulations du système étaient

FERUES

cylindriques, il suffirait que ia somme des moments des forces extérieures appliquées à l'ensemble des corps situés d*un côté de cette articulation, fût nulle par rapport à Taxe de la charnière; ces forces extérieures, y compris les réactions iles appuis extrêmes, seraient alors réductibles à un couple situé dans le plan de l'axe.

Quelquefois les articulations d'un système sont fictives. On suppose, par exemple, qu'une charpente est composée de pièces articulées ; l'équilibre réalisé dans cette hypothèse sera à plus forte raison assuré quand les articulations seront remplacées par des assemblages rigides.

FEIIBŒS ER GHABPOTfi.

365. L'équilibre des fermes que Ton emploie pour couvrir les édiGces, donne un exemple de la théorie des systèmes articulés.

Considérons d'abord une ferme du système le plus simple. Deux arbalétriers égaux, et également inclinés à Thorizon^ A6, A'B, viennent s*assembler au sommet B ; leurs pieds A, A%

sont engagés dans un entrait AAf , qui achève le triangle isoscèle A B A'.

L'entrait est posé sur deux murs verticaux , dont les coupes sont indiquées en M et W. On suppose enfin que chaque arbalétrier

Pig. 347.

ait & supporter une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, à raison de p kilogrammes par mètre; cette charge comprend, outre le poids propre de l'arbalétrier, le poids des pannes, des chevrons, des tuiles, des ardoises, de la tôle ou du zinc, que l'on emploie pour rendre la couverture étanche., enfin les charges additionnelles que la

EN GDARPENTB. 5k5

toiture peut avoir à subir, par exemple le poids des neiges. Chaque arbalétrier sera en équilibre sous Faction du poids uniformément réparti pxAB, qui le sollicite, et des réactions exercées par les pièces avec lesquelles il est en contact, à son pied et à son sommet. Au sommet B, les deux arbalétriers exercent Tun sur Tautre des actions mutuelles et égales ; la symétrie de la figure et des charges, par rapport au plan vertical moyen BC, exige donc que la réaction des deux arbalétriers au point B soit horizontale. Appelons R cette réaction. Considérons à part Tun des arbalétriers AB. Il est sollicité par scm poids total, pxAB, que l'on peut supposer appliqué au milieu I de la longueur AB, puisqu'il est également réparti. Il est en outre sollicité par la force R, horizontale et appliquée en B. Cette force a une intensité inconnue. Pour la déterminer^ composons-la avec la force verticale P=pxAB, en transportant ces deux forces au point 6 où se rencontrent leurs directions. La résultante, devant être équilibrée par la réaction du point A, doit passer par ce point ; elle a donc la direction GA. Prenant sur la verticale GI une longueur GK pour représenter le poids donné P, on trouvera, en achevant le parallélogramme GKLNG, la longueur GN qui représente la réaction R au sommet, et la longueur GL qui représente une force égale et contraire à la réaction de Tappui inférieur A. Cette force, appliquée en A suivant A6, peut être décomposée suivant la verticale et l'horizontale; la composante verticale sera égale & GK ou à P; Thorizontale, égale à GN ouà R, est la tension développée dans l'entrait.

Pour calculer la force R, qui représente & la fois la tension de rentrait et la pression mutuelle des deux arbalétriers au point B où ils s'assemblent Tun à l'autre, on peut appliquer le théorème des moments.

La force horizontale R, appliquée en B, la force verticale P appliquée en I, et la réaction du point A se faisant équilibre, la somme de leurs moments est nulle par rapport à un axe quelconque. Prenons pour axe la perpendiculaire élevée au point A sur le plan de la figure. Le moment de la réaction ap-

584 ÈQUIUBRB

pliquée en A sera nul ; et l'équation des momenis se réduira à Tégalité suivante

PXAI' — RXBC = 0.

Cette équation fait connaître la réaction R, car tout y est connu, sauf cette réaction.

Elle donne

R^PxJI'.

Soit AA'=2Z la porlée de la ferme, f sa flèche BC. On aura

R = Px^,

et si l'on appelle p' le poids qui est réparti uniformément sur la ferme par unité de longueur horizontale, on aura

P=p'/, et R=^* (Cf. 8 328).

366. Cherchons la solution du même problème en supposant que la ferme ne soit pas symétrique, ou qu'elle soit non symétriquement chargée; nous admettrons toujours que chaque arbalétrier AB, A'B, supporte une charge uniformément répartie, à raison de p kilogrammes par mètre de longueur pour Tun, et dep' kilogrammes pour l'autre. La résultante des poids de chaque arbalétrier sera verticale, appliquée aux milieux I,P de chacun, et égale à P=pxAB pour le premier, et à P'=p'x A'B pour le second.

Fig. 348.

La réaction mutuelle, R, des deux arbalétriers au point B ne sera plus horizontale ; mais en vertu du principe de l'action

DTNË FERUE. S85

égale à la réaction, la force BR, exercée par Tarbalétrier BA' sur l'arbalétrier BÂ, sera égale et contraire à la force BR' exercée par Tarbalétrier BA sur l'arbalétrier BA'.

La tension T développée dans l'entrait AA' aura la même valeur aux points A et A'; elle sera dirigée de A vers A^au point A, de A' vers A au point A'.

Exprimons Téquilibre des deux arbalétriers pris séparément; pour cela, prenons les moments par rapport aux points A et A', ce qui élimine la tension inconnue T. Nous aurons, en abaissant les perpendiculaires AH, A'fl' sur la direction de la réaction R,

PXAK = RxAH, RxA'H'sP'XA'K'.

Multipliant les deux équations et supprimant le facteur commun R, il vient :

AOP P' VK'