On peut aussi obtenir par le calcul la relation entre P
et Q. Le frottement de la poulie sur Taxe est égal au produit
R -=== , et Téquation des moments nous donne
en remplaçant par f^ le nombre ■ — ^ —
La valeur numérique de r^ se déduit de la formule de la raideur des cordes.
Soit F la portion de la puissance P capable d'équilibrer la résistance Q, en supposant qu'il n'y ait d'autre résistance passive que la raideur de la corde. Nous avons posé (§ 353) l'équation
Donc
et multipliant par r,
p=Q+^-:tLO.
Fr = Qr+i±M.
Or Fr est égal au produit (ir'\ car c'est par l'augmentation du bras de levier de la force Q que nous tenons compte de la raideur de la corde au passage de la poulie. Donc enfin
Substituons cette valeur dans l'équation des moments; il vient :
Pr=Qr+5(A+BQ)+R/i^;
57d ÉQUILIBRE
Mais R est la résultante des deux forces P et Q, dont les directions sont données, et on a
R« = P« -I- Q« -I- 2PQ cos(P, Ql
Remplaçant R par sa valeur déduite de cette dernière relation, on a l'équation finale qui ne contient plus que P et Q :
Pr = Qr + g (A + BQ) -f f,p v/P* + U* 4- 2PQ eus (P. Q).
Si Ton fait disparaître le radical, on sera ramené à une équation du second degré, qui fera connaître P en fonction de Q. On peut aussi procéder par approximations suc* cessives, ou enfin substituer au radical une fonction linéaire de P et de Q, par la méthode d'approximation de Poncelet (§275).
L'équation se simplifie quand les forces P et Q sont parallèles. Le radical se réduit alors à P -h Q, et Ton a par conséquent
ce qui donne entre P et Q une relation de la forme
P = fl + 6Q.
361. Nous allons appliquer cette relation à réquilibre des moufles, en tenant compte à la fois du frottement et de la raideur des cordes.
Soit M la moufle supérieure suspendue au point fixe 0 ; N, la moufle inférieure qui porte le poids Q; P, la puissance appliquée au bout de la corde qui passe sur toutes les poulies, renvoyée alternativement de la moufle inférieure à la supérieure et de la supérieure à rinférieure. Les cordons sont tous sensiblc- Fig. 345. ment parallèles entre eux, ainsi qu'aux forces P elQ, et si l'on appelle T^, T,, T,, T^, les tensions de ces cor-
dons successifs, les poulies étant toutes dans des conditions identiques, on aura la série d'équations :
T4 = fl4-W»
Le poids Q est équilibré par la somme des tensions des cordons compris entre les deux moufles; donc
Q = Tt + T,-«-...-fT«.
Ces équations montrent que P et Q sont des fonctions linéaires de T^, et par suite, que P est une fonction linéaire de Q. Nous poserons donc
P5=«-|-|îQ,
a et p étant des coefficients qui dépendent des coefficients a et b et du nombre n.
Pour déterminer ces nombres a et ^, cherchons d*abord à exprimer P et Q en fonction de T^.
Retranchons la première équation de la seconde, la seconde de la troisième..., ravant-derniëre de la dernière; il viendra la série de relations
les différences T,— T^, T,— T,....,P — T,, sont donc les termes d'une progression géométrique dont la raison est b; faisant la somme de tous ces termes, on aura
V, ^ Mie. G0LLI6SOX. 97
puis remplaçant T, par sa valeur a + bT^, il vient
Pour avoir de même Q en fonction de T^, observons quel'équation précédente, qui donne P, fait également connaitre T.> T,^i, T„... T,, en remplaçant successivement n par n— 1, n — 2, ... 1. Nous avons ainsi
T» = a^/+6»-'Tt.
T, = «J^ + tT,.
équations auxquelles on peut joindre l'identité
Additionnant toutes ces équations membre à membre, il vient
- fin ( F^TT - »; + Tt ftin •
On a donc à la fois
p=«Çr^+t.T..
y(ft— 1)
Multiplions la seconde par . . ' , et retranchons; T, éliminé, et nous aurons pour déterminer a et ^ l'équation
( sera
La relation P=a + PQ montre que le rendement de la machine augmente a\ec le poids Q; plus le poids soulevé est grand, moins le terme constant a conserve dMmportance, et il devient même complètement négligeable pour une valeur très grande de Q. Ce terme a représente, pour ainsi dire, les frais généraux d'une entreprise, et le terme 0Q, les frais proportionnels. En général, l'importance des frais généraux est d'autant moindre que Tentreprise prend des développements plus étendus.
ÉQUIL1BBB DES POLYGONES ABTICOLÊS SANS FROTTEMENT.
362. On dit que deux corps solides sont articulés l'un avec l'autre, lorsque ces deux corps sont liés ensemble, soit par un point commun, soit par un axe, de telle sorte que leur liaison permette certains mouvements de 1*00 des corps par rapport à l'autre.
Lorsque les deux corps n'ont qu'un point commun, on dit que Tarticulation est sphérique; si l'on fixe l'un d'eux, les points du second sont assujettis par la liaison à se mouvoir à la surface de sphères décrites du point commun comme centre. On réalise cette articulation, soit par un genou^ sphère pleine appartenant au premier corps, emboîtée dans une sphère creuse ménagée dans le second, soit par un joint de Car(/an (I, g 293).
Lorsque les deux corps ont deux points communs, auquel cas chacun est assujetti à tourner, par rapport à l'autre, autour de Taxe qui joint ces deux points, l'articulation est dite eglindrique ou à charnière. L'articulation à charnière constitue une liaison plus étroite que l'articulation sphérique.
363. Un polygone articulé consiste en une série de corps solides Aj, A,, A,,... A., dont le premier, A^, repose sur un ou plusieui^ appuis fixes OfO'...; le second, A,, est articulé au point a^ avec le corps A^; le troisième. A,, est articulé au point o^avec le corps A,, et ainsi de suite, jusqu'au dernier corps A„,
qui est articulé avec le précédent au point a».!, et qui repose sur des appuis fixes u>, co'. ... Nous supposerons que toutes ces articulations soient sphériques, et qu'il n'y ait aucun frottement ni dans les articulations ni sur les appuis.
Fig. S46.
. Proposons-nous de trouver les conditions d'équilibre d'un système ainsi formé, sous l'action des forces qui y sont appliquées, et que nous désignerons d'une manière générale par les lettres (F^), (l\), (F,),... (F,) : (FJ représente le groupe des forces appliquées au corps A^; (F,), le groupe appliqué au corps A,, et ainsi de suite. Supposons que Téquilibre ait lieu ; nous ne le troublerons pas en introduisant de nouvelles liaisons dans une portion quelconque du système. Solidifions donc toutes les articulations. Le polygone articulé se change en un système solide, et l'équilibre exige, par conséquent, que l'ensemble des forces extérieures, y compris les réactions des appuis extrêmes, satisfasse aux six équations d'équilibre d'un système solide libre dans l'espace. On se servira de ces six équations pour déterminer, s'il est possible (gg91, 147), les réactions des points 0, 0',... u>, (o',... Nous supposerons que cette détermination soit faite, et nous désignerons par (R) le groupe des réactions développées aux points 0, (y,.., sur le corps A^, et par (R') le groupe des réactions développées aux points 4ùy (o\... sur le corps A..
Cela posé, deux corps consécutifs, Aj^ et Aj^^, ayant un point commun àjk, exercent l'un sur Tautre deux forces égales et contraires que nous représenterons par f^ et — 9», et qui pas-
DES POLYGOriES ARTICULÉS. $81
sent par le point a*. Solidifions les articulations a^, «,,.•• jusqu'à a»j; le corps solide A^, A„... A» est en équilibre sous Faction des forces (R), (F^), (F,),... (Fj) et 9». Donc —9» est la résultante des forces données (R), (FJ, (F,),.- (F»); et de môme, 9» est la résultante des forces données (Ft+^),... (F^) et (R'). Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suflit que la somme des moments des forces (R), (Fj),.,, (F»), soit nulle par rapport à tout axe passant par le point a^^. Cette condition est suffisante, car si elle est remplie, le système des forces (R), (F),... (¥j^) admet une résultante unique passant par le point a^. Mais le groupe total (R), (F^),... (F,), (R') étant en équilibre, la somme des moments de toutes les forces par rapport à un axe quelconque est nulle ; si donc la somme des moments des forces (R), (F^),... (Fj^) est nulle par i*apport à un aie passant au point a^y la somme des moments des forces (F*+i), (Fk)... (R'), sera aussi nulle par rapport au même axe, de sorte que le second système (F^+J,.., (F,), (R') est, comme le premier, réductible à une résultante unique passant par le point a^. Je dis de plus que les deux résultantes sont égales et contraires. En effet, la résultante de translation du système total étant nulle, si Ton partage d'une manière quelconque le système en deux systèmes partiels, la résultante de translation de Tun sera égale et contraire à la résultante de translation de l'autre ; car la composition de ces deux résultantes partielles doit donner zéro pour la résultante totale.
En résumé, il faut et il suffit, pour que l'équilibre soit assuré : 1* que les forces extérieures satisfassent aux six équations d'équilibre ; 2^ que la somme des moments par rapport à tout axe mené par chaque articulation soit nulle pour toutes les forces extérieures appliquées à l'ensemble des corps solides situés d'un même côté de cette articulation.
La réaction 9^ s'obtiendra en composant les forces (R) et les forces (FJ; la force ?,, en composant (R), (FJ et (F,), ou, ce qui revient au même, en composant la force — 7^ et les forces (F,), et ainsi de suite.
