ADDITIONS

SUR LA COUPOSmON DES FORCES.

379. Il n*est pas inutile de montrer que la règle du parallélogramme des forces peut se déduire du principe de Véquilù bre du levier^ qui a été longtemps, comme on Ta vu, la base de la statique (§ 267). Commençons par établir le principe lui-même, sans rien emprunter à la théorie de la composition des forces.

Soit âB une barre rigide, que nous supposerons uniformément chargée de poids, à raison de p unités de poids par unité de longueur. Si cette barre est libre dans l'espace, on pourra évidemment la maintenir en équilibre en en fixant le l point milieu 0 ; la barre restera alors p. ^^

immobile sous l'action des poussées symétriques qu'elle subit de part et d'autre de ce point fixe. On tient donc en équilibre le poids total p x AB qui pèse sur la barre, en appliquant au milieu 0, en sens cou: traire de la pesanteur, une force unique F, et celle force doit être égale au poids total; car on peut regarder comme un axiome, ou au moins comme un fait d*expérience, que le poids loial d^un syslèjne jnalëi'iel nje change pas quand on nç fait que grouper d'une autre manière les parités qui le corn" posent: Ici nous rassemblons pour ainsi dire au point 0 toute

la charge répartie uniformément de A en B, et nous équilibrons cette charge totale par une force égale et contraire, F=pxAB.

Réciproquement, à une force donnée F, appliquée en un point 0 quelconque d'un solide, on peut substituer, soit réellement, soit fictivement, sans troubler l'équilibre, une force

également répartie, à raison de rg unités de force par unité

de longueur, le long d'une droile AB, menée dans le solide perpendiculairement à la direction de F, et telle que le point d'application 0 soit le milieu de la droite AB.

580. La condition d'équilibre du levier se déduit de cette simple i^marque.

Soient P et Q deux forces données, parallèles, appliquées

aux points A et B d'un système invariable, que nous pouvons réduire par sr la pensée à la barre rigide AB qui unit ces deux points. Cherchons . Q quel est le point 0 de cette barre qu'il faut fixer pour équilibrer à la fois les deux forces P et Q. Pour cela divisons la droite AB au point M en deux segments AM, MB, proportionnels aux forces adjacentes ; il suffit pour cela de mener B(y égal et contraire 5 BQ, et de joindre PQ* ; cette droite PQ^ coupe AB au point cherché. Prenons ensuite sur la barre prolongée dans les deux sens des longueurs AM' = AM et BM' = BM ; nous supposerons que les segments additionnels AM\ BM' sont réunis invariablement au système donné.

P Gela posé, à la force P substituons une charge r^ également répartie par unité de longueur sur tout le tronçon MM', et à la force Q, une charge rn^ également répartie par unité

Fig. 365.

de longueur sur tout le tronçon MM'. La répartition de la charge sera la même du point M' au point M', car on a les égalités

Kous avons donc ramené les deux forces P et Q» sans troubler les conditions déquilibre, à une charge uniforme du point M' au point M' appliquée à la barre rigide M'M'; par conséquent l'équilibre sera assuré si l'on fixe le point 0, milieu de cette barre, et ce point aura à développer un effort égal à la totalité de la charge, c'est-à-dire à P -f- Q.

Au lieu de construire ainsi le point 0, en prenant le milieu de la droite WWy observons que cette droite est double de la droite AB, et que par conséquent OM' est égal à AB ; retranchant de part et d'autre les tronçons égaux AM' = AM, il vient

▲0 = MB.

Donc, pour obtenir le point 0, il suffit de renverser bout pour bout la division de la droite AB au point M, ou encore de partager la droite AB en deux segments AO, BO, inversement proportionnels aux forces adjacentes P et Q. On arrive ainsi très directement à la régie de la composition des forces parallèles. Lesforces parallèlesPet Q, agissantdans le même sens, ont une résultante égale à leur somme P + Q, appliquée au point 0 défini sur la droite AB par la proportion