P OB Q — AO
ou encore par Y équation des moments
PXA0 = QX0B.
381. n est facile d'étendre le résultat ainsi obtenu à la composition des forces concourantes, en considérant d'abord l'équilibre du levier coudé.
■. — MfC. OOU.I«RO«. 30
Fig.S68.
610 COMPOSITIOn
Soit AOB un leyier coudé, mobile autour du point 0, et sollicité aux points  et B par deux forces P et Q, normales aux deux bras OA et OB, ces deux forces étant situées dans le plan de l'angle AOB. On demande la condition dëquilibre. Prolongeons AO jusqu'en C, à une distance OC = OB ; aa
point C, invariablement lié au levier, appliquons deux forces Q' et Q^, égales et opposées, normales à OC, situées dans le plan de la figure, el enfin égales à Q. Les deux forces égales Q et Q^ ont un point commun I, qui appartient à la bissectrice commune aux angles BOC et QKy. On peut supposer les forces appliquées en ce point I ; elles s'y composent en une force unique, qui, en vertu de la symétrie, est dirigée suivant cette droite 01. Elle charge donc directement le point fixe 0, et ne contribue pas à modifier les conditions d'équilibre du système. Il reste à s'assurer de l'équilibre des forces Pet Q* appliquées au levier droit AC, ce qui ramène à l'équation des moments
PXA0 = Q"X0C,
ou bien
PX A0 = Qx0B,
puisque Q est égal à Q* et OC à OB, d'après la construction delà figure. Donc l'équilibre des P et Q s'exprime encore par l'équation des moments, comme si les forces étaient parallèles.
582. Arrivons enfin à la démonstration du parallélogramme des forces.
Soient P = OA, Q = OB deux forces appliquées en un même point 0, faisant partie d'un système invariable (fig. 367). Prenons le milieu I de la droite AB qui joint les extrémités des
forces P et Q« Je dis qu^en fixant ce point les deux forces P et Q seront tenues txk équilibre.
Abaissons en effet du point I sur les directions des forces P et 0 les. perpendiculaires IK et Ht et considérons le levier coudé KIL, mobile autour du point I, et sollicité en K et en L par les forces P et Q. La condition d'équilibre sera
PXIK = QXIL,
ou bien
0AXIK = 0BXIL,
égalité évidente, car chacun des produits indiqués mesure le double de la surface des triangles AOI, BOI, qui sont équivalents, puisqu'ils ont des bases égales AI = IB, et pour hauteur commune la distance du point 0 à la droite AB. Le point I est donc situé sur la résultante des forces P et Q. Appelons R la grandeur encore inconnue de cette résultante; appliquons au point 0, dans le prolongement OC de la droite 01, une force OC = R, qui tiendra en équilibre les deux forces P et Q. Les trois forces P, Q, R se faisant équilibre, chacune est égale et contraire à la résultante des deux autres, et par suite, en y appliquant la remarque qui vient d'être démontrée, la force P passe par le point T, milieu de la droite BC, et la force Q par le point 1", milieu de la droite AC. Donc enfin les trois forces P, Q, B ont pour directions les médianes Al\ BP, CI, du triangle ABC qu'on obtient en joignant leurs extrémités. Il en résulte que R=OC est double de 01. Si donc on prolonge 01 d'une quantité 1D=0I, la droite OD représentera en grandeur et en direction la résultante des forces OA=P et OB = Q. La construction revient à achever le parallélogramme OADB, et à mener la diagonale OD. La démonstration déduit, comme on le voit, la règle du parallélogramme des forces du théorème du § 28, cas particulier du théorème du g 218,
théorème qui se rattache à la condition d'équilibre du levier.
383. Remarque. Considérons un point matériel M, sollicité par n forces données en grandeur et en direction IfF, MP, MF'. . . On demande la résultante MR de toutes ces forces. Sans rien connaître sur les règles de la composition des forces, on pourrait arriver à découvrir cette règle à Taide des observations suivantes.
Par le point M menons trois axes arbitraires, MX, MY, MZ, et rapportons à ces trois axes les extrémités F, P, F'..., des droites données, ainsi que TextrémîtéR de la droite cherchée. Soient
«, y, s, les coordonnées du point F»
et X, Y, Z celles du point R.
Les quantités inconnues X, T, Z devront être exprimées par des fonctions des données x, y, z, o/^ y', s', of^ xf^ 2',.... lesquelles fonctions devront avoir certains caractères qui permettent d'en deviner la forme :
l"" Elles s'annulent lorsque les quantités a:, y,2,â/, xf^J,.... s'annulent toutes à la fois ;
2* Si Ton a à la fois a:'= o, y'=o, «'=0, af=zo, xf=^o, «»=o,... pour n — 1 forces, on a aussi X=:a:, T=y,Z=2;
3*^ Toutes les forces devant entrer de la même manière dans la composition de la résultante, X, T, Z sont des fonctions symétriques de x^ y, z^ a/, j/, s'»-..;
4"" Les fonctions X, T, Z doivent être telles, qu'un changement quelconque des axes, sans changement des composantes, n'entraîne aucun changement dans la ré.sultante R;
S"" On peut ajouter que si F, F%... augmentent ou diminuent dans un certain rapport, sans changement de directions, R augmente ou diminue dans le même rapport. •
Il y a sans doute une infinité de manières de satisfaire à ces conditions ; mais parmi ces manières la plus simple consiste
à exprimer X, T, Z par la somme algébrique des coordonnées de même nom relatives aux composantes, c est-à-dire à poser
ce qui revient à dire que la résultante R est la somme géométrique i^ 27) des composantes F, F%.... On retrouve aussi directement sous cette forme le théorème du § 219.
PROPRIÉrÉS GÉOMÉTRIQUES DU LIEU DES CENTRES DE GRAVITÉ DES ARCS DE CERCLE (^ 184 ET SUIVANTS).
384. La méthode indiquée § 186, 1*", pour passer du centre de gravité G de l'arc AB au centre de gravité G' d'un arc AI moitié moindre (fig. 165), permet de construire, avec autant d'approximation qu'on le voudra, un triangle équivalente un secteur circulaire, et une droite égale en longueur à un arc de cercle.
1* Soit G le centre de gravité de l'arc AB, dont le centre est en 0. Du point 0 comme centre avec 00 pour rayon, décrivons un arc de cercle GH. Je dis que le secteur 06H est équivalent au triangle 06A.
En effet, soit OA = a, angle GOA = e. On aura
Fig. 368.
Sintf ! a — ^— •
Donc le secteur OGH a pour mesure
VxÔG* = 4a.5i^.
et le triangle OGA a pour mesure
ce qui démontre le théorème.
Etant donné le secteur circulaire GOH, on pourra donc trouver le côté OA du triangle équivalent GOA, en élevant en G une perpendiculaire sur OG, jusqu^à la rencontre en G' avec le rayon bissecteur 01' ; en G' une perpendiculaire sur OG', jusqu'à la rencontre r.n G^ avec la bissectrice OG', et ainsi de suite, la série des points G, G', G',... formant les centres de gravité des arcs sous-doubles AB, AI, Al',... et aboutissant par conséquent au point A, centre de gravité de Tare infiniment petit qui commence en ce point. Lorsqu'on approche du point A, les longueurs OG, ne diffèrent pas sensiblement du rayon OA, et on peut achever d'un seul coup la construction en décrivant un arc de cercle du point 0 comme centre avec OG, pour rayon. Cet arc se confond sensiblement avec la perpendiculaire élevée à l'extrémité de OG., et il fait connaître le point A avec une approximation qu'on peut pousser aussi loin qu'on le voudra.
2"" La même construction appliquée à l'arc OG, égal au rayon OA, fait connaître le développement OA de cet arc sur sa tangente à l'extrémité 0. Il est aisé de démontrer directement cette construction par la géométrie élémentaire.
CENTRE DE GRAVITÉ DE MASSES PLACÉES AUX SOMMETS d'un TRIANGLE.
385. Si Ton place des poids égaux aux sommets d'un triangle ABC, le centre de gravité de ces poids coïncide avec le centre de gravité du triangle lui-même, c'est-à-dire avec le point commun aux trois médianes (§ 198). Si les poids placés aux sommets A, B, G sont proportionnels aux côtés opposés a, bf c, le centre de gravité est au point de concours
Fig.369.
des trois bissectrices, c'est-à-dire au centre du cercle inscrit dans le triangle (g 224).
On peut se demander quels poids il faudrait placer aux sommets A, B, C, pour amener leur centre de gravité en d'autres points, tels que le point de concours des trois hauteurs, ou le centre du cercle circonscrit.
1^ Soient A, B, C les poids cherchéSy dont le centre de gravité est au point G où se coupent les hauteurs Aa, Bp, Cy-
Si l'on compose les poids B et C, la résultante devra être appliquée au point a; car il faut qu'en la composant avec le poids A, on obtienne le point G pour le centime de gravité général. On a donc l'équation
C~"Bi'
Mais les segments Ba, Cà sont respectivement égaux à c CosB, b CosC, a, b, c désignant ici les côtés, et A, B, C les angles du triangle donné.
Donc
B 6CosC Sm B Cos C TangB C ~ c Cos B ~" Sin C ^ Co8 B ^ Tang C
On aurait de même
c Tang C A ~ Tang A' A __ Tang A B ~ Tang B'
Il suffit par conséquent de prendre les poids A, B, C proportionnels aux tangentes trigonométriques des angles du triangle.
Si l'un des angles A est droit, la tangente est infinie; le centre de gravité coïncide avec le sommet de l'angle droit, les
deux autres poids devant être négligés vis-à-vis du poids infini tang A.
Si l'un des angles A est obtus, le poids correspondant est négatif. La pesanteur doit agir au point A en sens contraire du sens dans lequel elle agit aux points B et C.
2* Cherchons ensuite quels poids il faut placer en A, B, C> pour que le centre de gravité soit au centre 0 du cercle circonscrit au triangle.
Ce point est le point de concoui*s des hauteurs du triangle KLM, qui a pour sommets les milieux des côtés du triangle donné, et qui a les mêmes angles que ce triangle.
Par conséquent il suffit, pour amener le centre de gravité en 0, de placer au milieu de chaque côté un poids égal à la tangente trigonométrique de Tangle opposé, tang A en K, tang B en L, tang C en M. Appelons A, B et C des poids appliqués aux points A, B, C et tels que le centre de gravité soit aussi en 0. Il suffira pour les trouver de décomposer chacun des poids placés en K, L, M en deux poids égaux, appliqués aux extrémités du côté correspondant. On aura en définitive, en réunissant les deux poids appliqués en un même point.
Fig. 370.
A:=5(TangB + TangC), B=~(TaDgC + TangA), Cs=g(TailgA-|-TaDgB).
On peut supprimer le coefficient -^, puisqu'on nechercheici
que des rapports, et on voit qu'il suffit de placer aux sommets des poids proportionnels aux sommes des tangentes trigonométriques des deux angles opposés.
Appliquée au triangle rectangle, la construction fait retrouver le milieu de l'hypoténuse pour centre du cercle circonscrit.
Ces exemples montrent qu'on peut être amené à considérer en statique des poids négatifs, ou des masses négatives. Si, par exemple, on place aux sommets d'un triangle ABC des poids proportionnels aux côtés opposés, mais en prenant négativement un de ces côtés, le centre de gravité général sera le centre du cercle ex-inscrit au triangle, qui touche le côté pris négativement et les prolongements des côtés positifs.
386. Les mêmes recherches peuvent être étendues au tétraèdre dans l'espace. On peut chercher quels poids il faut placer aux quatre sommets d'un tétraèdre pour que le centre de gravité soit en un point donné. Si les masses sont égales, leur centre de gravité coïncide avec celui du tétraèdre considéré comme un solide homogène. Pour que le centre de gravité des quatre poids tombe au centre de la sphère inscrite, il faut et il suffit que les quatre poids soient respectivement proportionnels ou égaux aux aires des faces opposées. Car si l'on appelle A, B, C, D les poids placés aux points de même nom, r le rayon de la sphère inscrite et A, h\ h". A" les quatre hauteurs, le théorème des moments, pris sucessivement par rapport aux quatre faces, donne les égalités
(A + B-f C4-D)r = AA=:BA' = CA" = D/»"',
auxquelles on satisfait en posant
A = A', B = B', C = C. Drriy,
A\ B% C% D% désignant les aires des faces opposées aux angles solides A, B, C, D.
Si Ton prend négativement un des poids, le poids A par exemple, on aura pour centre de gravité général le centre de la sphère ex-inscrite qui touche la face A' et les trois autres faces prolongées. Cornue on peut prendre négativement les
quatre poids successivcmeaU on ohCient qaatie q^héres ei-
inscrites touchant respectivement chacune des quatre faces, et les prolongements des trois autres.
On peut prendre encore négativement deux poids sur quatre, ce qui peut se faire de six manières, puisqu'il y a six combinaisons de quatre objets deux à deux. Mais ces six manières se groupent deux à deux en hypothèses identiques. En effet, deux combinaisons qui ne diffèrent que par le changement de signes des quatre poids qui la composent, ne sont pas distinctes l'une de l'autre, et s'échangent Tune dans Tau* tre en faisant une convention convenable sur le signe des moments. Par conséquent, les six combinaisons obtenues en prenant négativement deux des poids sur quatre se réduisent en réalité à moitié, et ne donnent que trois sphères nouvelles ex-inscrites, tangentes aux quatre faces prolongées.
La combinaison qui consisterait à faire négatifs trois poids sur quatre, est identique à celle qui consiste à prendre négativement un seul poids, les autres étant regardés comme positifs, et ne fait rien connaître de nouveau.
En résumé, la recherche des centres de gravité des poids
placés respectivement aux sommets
du tétraèdre, fait connaître huit sphères tangentes à la fois aux plans des quatre faces, et montre qu'il n'y en a pas plus de huit.
387. Les quatre hauteurs d'un tétraèdre ne concourent pas en général en un même point. Pour s'en assurer, il suCQt de considérer un angle dièdre formé de deux plans P et Q qui se coupent suivant une droite (a). Si l'on prend au hasard deux points A et B, l'un dans le plan P, l'autre dans le plan Q, et que de ces points on abaisse sur l'autre plan les perpendicu*
DE GRiVITË. 610
laires Aa, B^, ces deux droites se croiseront en général dans l'espace sans se rencontrer. Or elles forment deux des hauteurs de tout tétraèdre ayant deux de ses sommets aux points A et B, les deux autres étant situés comme on voudra sur la droite (a), intersection des plans P et Q.
SUR LA MÉTHODE GRAPHIQUE POUR LA DÉTERM^ATIOIf DU CENTRE DE GRAVITÉ d'uKE AIRE PLAlfE. (§ 205).
388. On trouvera dans les comptes rendus de V Association française pour Vavancement des sciences^ Congrès de Lille^ année 1874, p. 1193, une méthode graphique qui permet de ramener à la quadrature d'aires planes, par des constructions très simples, la recherche d'une intégrale double de la forme
étendue à tous les éléments superficiels compris dans un contour donné ; a: et y sont des coordonnées rectangulaires, et m et 7t des exposants entiers, positifs ou négatifs, mais non pas tous deux égaux à —1.
ÉQUH^IBRE d'un POLYÈDRE (§§ 231 et232).
389. On a démontré dans les §§ 231 et 232 qu'un polyèdre soumis à des forces normales à ses faces, proportionnelles aux faces, et appliquées en leurs centres de gravité* est en équilibre. M. Lalanne a fait connaître en 1877 une démonstration directe de cette proposition.
Soit A une face du polyèdre, a son centre de gravité, F la force normale appliquée en a et proportionnelle à A ; nous supposerons la force dirigée vers Tintérieur du polyèdre. Prenons trois axes rectangulaires, et décomposons la force F en
eSO ÉQUILIBRE D'UN POLYÈDRE.
ses trois composantes X, Y, Z parallèles à ces trois axes. L'angle de F avec l'axe OX est é^'al à 1 angle de la face A avee le planZOY. Projetons le polyèdre sur ce plan ; la face A s'y projettera suivant un polygone A\ et le centre de gravité a de la face A aura pour projection le centre de gravité af du polygone A^ La composante X peut être considérée comme appliquée en ce point. Opérant de même pour toutes les faces comprises d'un même côté du contour apparent du polyèdre projeté sur le plan YOZ, on est amené à composer toutes les forces X correspondantes, appliquées aux points a^ et proportionnelles aux aires des polygones A% dont ces points a' sont les centres de gravité ; la résultante R est proportionnelle à la projection du contour apparent total, et appliquée au centre de gravité de ce contour projeté sur le plan YOZ. La même composition peut se faire pour les faces du polyèdre situées de l'autre côté du contour apparent, et elle conduit à une résultante — R, égale et contraire à R, et appliquée au centre de gravité de la projection totale. Donc les forces X appliquées à toutes les faces se font équilibre.
II en est de môme séparément pour l'ensemble des forces Y, et pour l'ensemble des forces Z ; par suite Téquilibre est assuré pour l'ensemble des forces F.
Cette démonstration a l'avantage d'être rapide, et de ne pas exiger que l'on considère à part l'équilibre du tétraèdre. Toutefois elle suppose que le polyèdre est convexe ; autrement elle perd un peu de son évidence. Admise du reste pour un polyèdre convexe, la proposition s'étend sans difficulté à un polyèdre, ou même à un solide de forme quelconque.
MOUVEMENT PERMANENT d'uR FIL HOMOGÈNE.
390. Par mouvement permanent Sun fil^ nous entendons le mouvement d'un fil qui glisse sans changer de forme dans sa propre direction, chaque élément ds venant prendre la place
