AB"F-|-F'""U

Donc

RXAI = F'XAB

Aux deux membres de cette égalité ajoutons (F h- F') x OA ; il viendra

RxAl-t-(F-hF')xOA = lF4-F')xOA-4-F'xAB.

RXlAI+OA) = FxOA-fF'X(OA-f-AB),

ou enfin

RxOI=:FxOA-f-P'xOB,

équation qui montre que le moment, RxOI, de la résultante par rapport au point 0 est égal à la somme des moments FxOA,F'xOBdes composantes par rapport au même point. La cinématique démontre immédiatement cette équation. Regardons F et F' comme les mesures de rotations qui s'effectuent simultanément dans le plan du papier autour des points Aet B. La résultante de ces deux rotations (I, g 165) est une rotation égale à B, autour du point 1, et l'équation des moments

exprime que le ôhemin RxOI, décrit par le point 0 de la droite ÂB en vertu de la rotation R, est la somme des chemins FxOA, F'xOB, décrits séparément en vertu des rotations composantes F et F'.

On vérifierait de même le théorème pour deux forces parallèles dirigées en sens contraires. L'équation finale est la même, pourvu que l'on donne des signes convenables aux moments. On pourrait aussi montrer que, grâce à l'emploi des signes, le théorème s'applique au cas où le centre des moments est compris entre les deux forces.

On peut conclure de là que la surface du triangle ORI est la somme (algébrique) des aires des triangles OAF, OBF'.

2*" Admettons que les forces ne soient pas parallèles. Soient AF et AF' deux forces concourantes. La résultante R est représentée en grandeur et en direction par la diagonale AR du parallélogramme AFRF', et le théorème des moments revient à Tégalité •

aire 0AR= aire OAF 4- aire OAP'. .

Or les trois triangles OAR, OAF, OAF' ont une oase commune OA, et sont entre eux comme leurs hauteurs, c'est-àdire comme les distances RK, FH, F'H' des points R, F et F' à cette base. Par le point F, menons FL parallèle à OA; la figure HKLFsera un rectangle, dans lequel Fil = KL. De plus, les deux triangles FLR, AU'F' sont rectangles en L et en H', ils ont l'angle FRL égal à l'angle AF'H', comme compris entre côtés parallèles chacun à chacun ; enfin, ils ont des hypoténuses égales FR, AF', comme côtés opposés d'un parallélogramme. Le côté LR est égal au côté F'H', et par suite

RK = FH-f F'H'.

Donc enfin le triangle OAR est la somme des deux autres, et le théorème est démontré.

Fig. 42.