DES MOMENTS

• Ce théorème porte en statique le nom de théorème de Varignon .

Le théorème des moments pour deux forces parallèles rentre eomme cas particulier dans la proposition relative à deux forces concourantes.

Soient en effet AF, AT' deux forces appliquées aux points A et A% et concourantes en un certain point; soit R leur résultante, qu'on peut supposer appliquée en un point A' de sa direction. D un point quelconque 0 **

pris dans le plan de la figure, abaissons des perpendiculaires OP, OP', OP sur les directions des trois forces ; nous aurons en vertu du théorème

RxOP" = FxOP-fF'xOP'.

R est de plus égale en grandeur à la diagonale du parallél(^amme dont les côtés sont les forces F et F'. Or imaginons que le point de concours des forces F et F' s'éloigne indéfiniment. A la limite, les trois forces F, F' et R seront parallèles, et la diagonale R du parallélogramme construit sur F et F' se changera en la somme, F + F\ des deux forces données. L'équation des moments étant toujours vraie, quelque éloigné que soit le point de concours des forces, est encore vraie à la limite, quand les forces deviennent parallèles, et peut servir à fixer la position vraie de la résultante F -f- F'.

La cinématique conduit encore directement à l'équation des moments pour les forces concourantes. Considérons les forces F, F' et R comme des rotations qui s'effectuent autour des directions AF, AT', A'^R ; la rotation R sera la résultante des deux relations F et F^ Tout point du plan de la figure reçoit de chacune de ces rotations un déplacement normal à ce plan, et, par suite, le déplacement dû à la rotation R est la somme algébrique des déplacements dus à F et à F'. L'équation des moments expume cette égalité (I, § 169).

64 THÉORËHE

n. Supposons toujours qu'il n'y ait que deux forces données F et F^ mais qu'au lieu de prendre les moments par rapport à un point de leur plan, on prenne les moments par rapport à une droite XY quelconque. La proposition sera encore vraie.

Projetons les forces données, F et F', et leur résultante R sur un plan notmal à XY. Nous obtiendrons sur ce plan deux forces fel f ', et une troisième force r, projection de R; le parallélogramme construit sur F et F', dont R est la diagonale, a pour projection sur ce plan un parallélogramme, qui a pour côtés f et f , et pour diagonale r. Donc r est la résultante de f et /'• Ceci suppose les forces f et f concourantes. Si el'es sont parallèles, la force R leur sera aussi parallèle et sera égale à leur somme, et elle partagera la distance de leurs points d'application en deux segments qui seront entre eux dans le

rapport ^,. Mais la projection de la figure sur le plan normal

à XY donnera trois forces f, f , r, proportionnelles à F, F', R: la force r sera la somme des forces f et /*, comme la force R est la somme des forces F et ¥\ et le point d'application de la force divisera la droite de jonction des points d'application projetés en deux segments, qui seront entre eux dans le rapport

dCpo c'est-à-dire de-—. En résumé, r est dans tous les cas

la résultante de f et f. Le théorème des moments est démontré pour cefe forces f, f, r. Or les moments des forces f, f , r, par rapport au pied de Taxe XY, sont, par définition, les moments des forces F, F', R, par rapport à cet axe. Donc enfin le théorème des moments est également démontré pour le cas où l'on prend les moments par rapport à un axe, en admettant toujours deux forces, soit parallèles, soit concourantes.

III. Il est aisé d*étendre le théorème à autant de forces données qu on voudra, pourvu qu'elles soient toutes parallèles, ou toutes concourantes en un même point.

Soient Fp F,, F,, *.. F», n forces satisfaisant à l'une ou à

DES MOUENTS. I»

Pautre de ces conditions. Pour trouver leur résultante, on peut composer F^ et F,, ce (^i donnera une résultante R/, puis composer R^ avec F,, ce qui donnera une résultante R, ; composer ensuite R, avec F^, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait composé la dernière force F^ avec la dernière résultante partielle R».t9 ce qui fournira la résultante générale R. Dans chaque opération, on aura à composer deux forces, soit parallèles, soit concourantes, et, par suite, on pourra ap* pliquer le théorème des moments, ce qui donne une équation. Nous aurons donc à la fois

tf:rfF» + yxvRs-i=MxyR.

Ajoutons ces n — 1 équations membre à membre, et supprimons les termes communs, il viendra en déflnitive

Un F^-h Mx,F,+ M^Fj-f. . . + Mx,F,=M„R;

le moment de la résultante R par rapport à l'axe xy est donc la somme (algébrique) des moments des composantes F,, Fj, ... F„ par rapport au même axe.

APPUCATIONS DU THÉORÈME DBS MOUElfTS.

48. Proposons-nous.de trouver d'abord les coordonnées du point d'application de la résultante de n forces parallèles, Fj, F,, ... F», appliquées en n points définis par leurs coordonnées rectangulaires, x^ y^, %^ pour le premier, «„ y„ «, pour

le second, «., y., a» pour le n**^.

. On sait ce qu'on entend par le point d'application de la résultante cherchée (§ 54) . C'est le point unique par lequel passe la résultante des forces données lorsqu'on les fait tourner chacune autour de son point d'application, sans altérer leur

n. •— > xfc. GOUioxoB. 5

parallélisme,' et en conservant les rapports de leurs grandeurs. Soient X, Y, Z les coordonnées de ce point. Faisons tourner toutes les forces de manière à les rendre parallèles à Taxe OY, et prenons les moments par rapport à l'axe OK. Les forces se projetteront en vraie grandeur sur le plan YOZ, normal à l'axe des moments, et les distances des forces à cet axe çeront égales respectivement à z^ pour la première, à 2, pour

la seconde, à s. pour lan^ La somme algébrique des

moments est donc égale à

F,ai + F,s,-f F5S5+ . . . + F««g.

On sait par le théorème des moments qu'elle est égale au moment de la résultante, c'est-à-dire au produit

{Fi+F,+ ...4-F,)xZ.

Donc

y F,3, + F«St+...-HF»»j,ZFs

équation que nous avions trouvée (g 34) par une méthode beaucoup moins rapide.

Nous obtiendrions la même équation en rendant les forces parallèles à l'axe OX, et en prenant les moments par rapport a Faxe OY.

L'analogie conduit à poser de même :

y Fiart + F,ga 4- . . . -f- F» j» iFr F,-fF,-f ...-hF. -ÏF'

Y^F<yt + F^y,-t-...4-F,y,ZFy F,H-F,-h...4-F. "2P-

49. Les forces parallèles F^, F„... P., peuvent recevoir des signes, et par suite leur somme algébrique IF peut être nulle.

Admettons qu'on ait ZF=0. Si Ton a en même temps 2Fx=0, 2Fy=0, 2Fa=0, les valeurs de X, Y, Z seront induterminées. Si, au coniraire, quelques-unes des sommes SFa:, iFy, IF2 ne sont pas nulles, quelques-unes des valeurs de X, Y, Z sont infmies.