QUELQUES APPLICATIONS DE LA STATIQUE A LA GÉOMÉTRIE

400. Un grand nombre de théorèmes de géométrie sont susceptibles d'interprétation statique, et les principes de Téquilibre peuvent leur servir de démonstration.

Nous en donnerons ici quelques exemples, à ajouter à ceux qui ont été donnés précédemment.

Si, perpendiculairement aux milieux des côlésd'un triangle, on applique trois forces, respectivement égales ou proportionnelles aux côtés correspondants, et dirigées toutes les trois vers l'intérieur ou vers Textérieur du triangle, ces ti'ois forces se font équilibre.

Ces trois forces ont, en effet, un point commun, le centre du cercle circonscrit au triangle ; d'ailleurs si l'on construit le polygone des forces, il se ferme de lui-même en formant un triangle égal ou semblable au triangle donné, déplacé y\^^^ /

d'un angle droit dans son plan. "^\^/ • ^\s^ /a

Soit ABC un triangle rectangle en C ; a, 6, c, les côtés de ce triangle; appliquons perpendiculairement aux milieux des trois côtés des forces res- ^.^ 3^^

pectivement égales k a, b, c;

le point de concours des trois forces sera le milieu I de Thypoténuse.

fSSê QUELQUES APPLICATIONS DE LA STATIQUE A LA GÉOMÉTRIE.

Ces trois forées» qui se font équilibre, satisfont à Téquation des moments; pnoaQ& pour centre des moments d'abord le point A, ensuite te peint C ; il viendra les équations

6Xj-f aXg— <^X^=0,

bX^-aX^ + cXlU = 0.

La première équation exprime le théorème 4n carré de l'hypoténuse, c'=o'-i-6*. La seconde fait connaître une nouvelle proposition,

Dans un triangle rectangle la différence des carrés des

côtés de r angle droit est égale au double du produit de V hypoténuse par la distance du milieu de Vhypoténuse au pied de la hauteur abaissée du sommet de V angle droit.

Cette dernière proposition s'applique à un triangle quelconque. On a en erfet, en prenant les moments des forces a, b, c,

Fig. 577.

par rapport à un sommet C,

6X5-flXjH-cXlH=0;

ce qui n*est autre chose que le théorème précédent généralisé.

Si Ton observe que

III = AI — An=5 — ^cosA,

il vient l'équation

■j— Y + cU — ^cosAj=0,

ce qui ramène à la relation connue,

a* = 2»* -f c* — S^cosA.