MÉTHODE DE QUADRATURE

401. L'aire d'une courbe plane, / t/dor, peut être considérée

comme la somme des moments d'éléments égaux à dx^ horizontaux, placés à la distance y de Taxe des abscisses, par rapport à un plan mené par cet axe perpendiculairement au plan de la courbe. On peut fonder sur celte simple remarque une méthode graphique de quadrature ^ Soit proposé de trouver la somme de plusieurs trapèzes

juxtaposés ABFE, BCUG, CKLD. On ramènera d'abord par la pens^ ces trapèzes à des rectangles équivalents, en menant les droites ET, GIF, etc., parallèles à la base commune, par les milieux I, F, T,... des côtés supérieurs. L'aire du premier trapèze est égale au produit AB x IP, ou bien ET'x IP ; c'est donc le moment du poids de la droite E'F' par rapport au plan AB; de même l'aire du second trapèze est égale à

i. Ânnalei des ponU et chautiéest janvier 1887.

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G'H'xFP, c'est-à-dire au moment par rapport au même plan du poids de la droite G'H'. La somme des deux aires sera donc égale au produit du poids total, égal à AB + BC, par la distance à la droite AC du centre de gravité de renscmble des deux poids ET', G'H'. Les centres de gravité particuliers de ces deux poids sont les points I et Y. Le centre de gravité de Tensemble est donc situé sur la droite ir, en un point m qui partage la droite II' dans le rapport inverse des poids

adjacents, c'est-à-dire dans le rapport ^p- Or le point a, où

cette droite II' rencontre la droite BG, qui sépare les deux surfaces à ajouter, partage la distance II' dans le rapport direct des longueurs IF', GT. On obtiendra donc le point m en renversant la droite H' bout pour bout, le point a restant attaché à la droite pendant son renversement.

Cela revient à prendre rm=Ia. Le point m est situé sur la verticale du milieu ^ de la base totale AC ; et la somme des aires ABFE+BCHG, est égale au produit ACxmix.

Pour ajouter l'aire suivante CDLK, on opérera de môme. Le point m est le milieu du côté supérieur d^un rectangle qui a pour base AC, et pour aire la somme des deux premiers trapèzes. On le joindra au point T, et prenant mn = r3, on aura le centre de gravité n des trois poids E'F', G'U', K'U' ; la somme des trois trapèzes est égale au produit AD x nll , et le point II est le milieu de la base totale AD.

On peut continuer par le môme procédé l'addition de tous les trapèzes successifs.

402. Celte méthode est très générale; elle s'applique aussi bien aux ordonnées négatives qu'aux ordonnées positives; elle se prête à la transformation des figures en figures équivalenles.

Supposons qu'on veuille, par exemple, ramener le rectangle donné ABCD à une base déterminée AE, sans en altérer la surface. Cela revient à ajouter à la figure ABCD un rec-tangle nul de base BE, et de hauteur égale à zéro. La droite DE étant le côté supérieur de ce rectangle additionnel, on

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prendra les milieux I et V des deux côtés DC, BE, on joindra ir, et on prendra Im = ra. Le rectangle AEFG, dont le côté supérieur passe par le point m, sera le rectangle cherché.

Lorsqu'on applique la méthode à la quadrature d*une courbe, on simplifie les opérations en partageant la surface à évaluer par des ordonnées *' pj^ ^^^ '

équidistantes.

Ces ordonnées déterminent alors sur les droites IF, inl%.. . les points m, n,... eux-mêmes, sans qu'on ait à faire l'opération du retournement bout pour bout.

On remarquera que, dans cette méthode de quadrature, la recherche de la moyenne précède la recherche du total; en d'autres termes, la méthode ramène la recherche de la somme Zab de produits ou de rectangles donnés, à la rechcr^ che de la hauteur h qui, multipliée par la, reproduit la somme cherchée. Cette hauteur h est la moyenne des ordonnées b, applicable à la base Za.